刘文兰 许允斗,2 闫文楠 姚建涛,2 赵永生,2

1.燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室，秦皇岛,0660042. 燕山大学先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室，秦皇岛,066004

重力对超静定结构受力的影响

刘文兰1许允斗1,2闫文楠1姚建涛1,2赵永生1,2

1.燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室，秦皇岛,0660042. 燕山大学先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室，秦皇岛,066004

目前有关超静定结构的受力分析中几乎均未考虑分支重力的影响，针对此，提出了一种考虑分支重力情况下超静定结构受力分析的方法。首先基于分支的力矩平衡方程直接求解出在分支重力作用下产生的施加给动平台的垂直分支轴线方向的约束力分量，并将其视作施加给结构的广义外力;然后基于结构变形协调关系和受力平衡方程，获得超静定结构各分支沿其轴线方向的约束力分量的完整解析表达式以及存在制造误差时装配内力的解析表达式;最后讨论了分支重力对超静定结构受力的影响机理。以平面超静定结构3-RR和空间超静定结构7-SS为例进行了实例分析，并建立对应的刚柔混合模型,进行了仿真验证。

重力；超静定结构；3-RR结构；7-SS并联机构；受力分析；装配内力

0 引言

超静定结构是工程实际中经常采用的一类结构，由于结构中存在冗余约束，其受力分析仅靠受力平衡方程无法求解，还需补充变形协调条件，另外，在温度变化、制造误差等因素影响下超静定结构会产生附加内力，因此，超静定结构的受力分析相对比较复杂。随着力学理论的不断发展和计算机技术的不断进步，出现了大量关于超静定结构受力的分析方法。ROJAS等[1-2]提出采用力矩分配法(逐步逼近法)分析超静定梁；李银山等[3]采用连续分段独立一体化积分法求解了索梁耦合超静定结构的受力分析问题；边文凤等[4]在三角形桁架变形协调的基础上提出了一种建立超静定桁架变形协调方程的新方法；文献[5-7]分析了超静定配筋连梁的非线性受力性能；吴晓等[8]提出了一种在里兹法基础上引入拉格朗日乘子构造新能量函数(无需再补充变形协调条件)求解双模量静不定结构的方法；隋允康等[9]以超静定桁架结构为背景研究了自适应结构的承载能力；QIN等[10]研究了超静定对称柔性结构的柔度建模问题；XU等[11]研究了冗余驱动并联机构的超静定驱动力问题；FATEMI等[12]推导了水平弯曲梁静不定问题的封闭解析解。姚建涛等[13-14]考虑分支刚度和机构变形协调条件，求解了预紧式六维力传感器7-SS(S表示球副)结构的静不定问题，后来姚建涛等[15]进一步推导了冗余n-SS(n>6)并联结构的分支杆轴向力与六维外力之间的全映射关系式；国内外学者也对n-SS(n>6)或其他超静定结构进行了相关分析[16-19]。但是，上述研究基本上都没有考虑超静定结构各分支杆的重力作用。而当在建筑、桥梁及船舶等工程中采用的超静定结构尺寸较大时，重力对该类结构产生的影响不容忽视。比如，用于外伸支撑的桁架结构，还未承受外载荷时在自重作用下已经产生了变形，若在设计阶段未考虑重力的影响，很容易使得在实际中出现强度不够或失稳等现象；另外，国内外学者研究n-SS(n>6)并联结构六维力传感器[15，19]时没有考虑分支重力的影响，但若研制大尺寸大量程传感器时，分支重力会对传感器的测量精度产生很大影响。

本文考虑各分支杆重力的影响，以平面超静定结构3-RR(R表示转动副)为例对此类结构进行受力分析，提出求解超静定结构约束力问题的一般方法，研究了分支重力对超静定结构受力的影响机理，并将提出的方法用于空间超静定结构7-SS的受力分析中以检验其通用性。

1 重力对超静定结构3-RR受力的影响分析

平面3-RR结构由三个共面的RR分支组成，如图1所示，分别记为分支AD、BD和CD。三个分支的一端通过R副与基座相连，另一端通过R副彼此相连，所有R副轴线垂直于结构所在平面。中间分支BD竖直布置，分支AD和CD关于分支BD对称分布且与分支BD的夹角记为α。当D点受到外力作用时，三个分支中均会产生与外力相平衡的约束力，取D点为研究对象，最多只能建立两个独立的平衡方程，即该结构中存在1个冗余约束，因此，平面3-RR结构属于一次超静定结构。

图1 3-RR超静定结构简图Fig.1 Schematic diagram of 3-RR statically indeterminate structure

在D点建立参考坐标系DXYZ，Z轴垂直于结构所在平面，X轴与基座AC平行，Y轴则根据右手定则确定。当D点受到外载荷F=(0,Fy)T作用时，若不考虑分支重力作用，则分支AD、BD、CD均产生沿对应分支轴线方向的约束力，分别用f1、f2、f3表示，且各分支杆产生拉压变形，D点变到D′点位置，如图2所示。

图2 变形后的3-RR结构Fig.2 Deformed 3-RR structure

由图2可建立变形协调方程如下：

(1)

(2)

式中，Δl1、Δl2、Δl3分别为分支杆AD、BD、CD的轴向变形;ki分别为分支AD、BD、CD的拉压刚度；Ei、Ai分别为各分支杆的弹性模量和横截面面积;li为各分支杆的长度。

联立式(1)和D点的受力平衡方程即可求解未考虑分支重力情况下沿各分支轴线方向的约束力大小。

在考虑各分支重力情况下，分支BD仍产生沿轴线方向的约束力，但分支AD(CD)产生的约束力不再沿分支轴线方向，而是沿结构所在平面内的任意方向，此时可将该任意方向的力分解为沿分支轴线方向和垂直分支轴线方向两个分量，其大小分别用fi和fpi(i=1,3)表示。将分支重力视为分支杆质心受到的一个集中力，以分支AD为研究对象，其受力示意图见图3。

图3 考虑分支重力时分支AD的受力示意图Fig.3 Force diagram of the limb AD under gravity

取关于A点的力矩平衡方程，即可求得fp1：

fp1=G1sinα/2=Gv1/2

(3)

Gv1=G1sinα

式中，G1为分支AD的重力大小。

同理可得分支CD末端的约束力fp3：

fp3=Gv3/2

(4)

在考虑分支重力的情况下，D点除受到外载荷F作用外，还受到各分支提供的约束力fi(i=1,2,3)和fpj(j=1,3)，其受力示意图见图4。

图4 D点受力示意图Fig.4 Force diagram of the point D

对D点建立受力平衡方程可得

(5)

对式(5)变形可得

(6)

式(6)表明，由分支重力引起的垂直于分支轴线方向的约束力分量fp可以看作施加给D点的一部分广义外力，其值根据式(3)和式(4)可得，则求沿分支轴线方向的约束力分量f的问题转化为：3-RR超静定结构在D点受到广义外力F-Gpfp和各分支受到沿分支轴线方向的力Gai作用的情况下，求解结构内各约束反力大小的问题，其中,Ga1=G1cosα，Ga2=G2，Ga3=G3cosα。

此时式(1)中各分支变形应由下式计算：

(7)

i=1,2,3

由式(7)可得

(8)

式(8)可整理为以下矩阵形式：

(9)

Ka=diag(k1,k2,k3)

ΔX=(Δl1,Δl2,Δl3)TGa=(Ga1,Ga2,Ga3)T

(10)

ΔD=(0,Δl2)T

联立式(6)、式(9)和式(10)可得

(11)

将式(11)代入式(10)并结合式(9)，即可得各分支轴线方向的约束力与外力及分支重力之间的解析表达式：

(12)

根据矩阵的加权广义逆表达形式[20]，式(12)可进一步化简为

(13)

综上，式(3)、式(4)和式(13)给出了考虑分支重力的情况下，求解3-RR超静定结构各约束反力的完整解析表达式。若不考虑分支重力的影响，即Gi=0，则式(3)、式(4)和式(13)变为

(14)

即

(15)

k3=k1

由式(3)、式(4)和式(13)可以发现：

(2)各分支重力对结构中的约束力影响分为两部分，对沿垂直分支轴线方向约束力的影响仅与垂直于分支轴线的重力分量有关，如式(3)和式(4)所示；而对沿分支轴线方向约束力的影响与重力在垂直分支轴线和沿分支轴线的两个分量均有关，具体值由式(13)决定，即

(16)

假设各分支在质心仅受到垂直于分支轴线方向的重力分量Gvi作用，则式(13)变为

(17)

式(17)表明垂直于分支轴线的重力分量Gvi对超静定结构3-RR受力产生的影响等价于D点受到的广义外力fpi对结构产生的影响，fpi与重力分量Gvi方向相同，大小满足fpi=Gvi/2。

假设只有分支AD受到沿分支轴线方向的重力分量Ga1作用，则式(13)变为

(18)

式(18)表明，分支AD轴线方向的重力分量在Ga1其他分支轴向产生的约束力与D点受到和Ga1同方向但大小为Ga1/2的广义外力作用时产生的约束力相同，而在分支AD自身轴向产生的约束力为广义外力Ga1/2作用下产生的约束力与Ga1/2之和。根据叠加原理即可得所有分支轴向的重力分量对3-RR结构受力产生的影响。

因此，考虑分支重力情况下，对超静定结构受力分析可概括为如下步骤：

(1)将各分支重力视为分支质心处的集中力，并将分支重力在对应分支末端产生的约束力分解为沿分支轴线和垂直于分支轴线方向的两个分量；

(2)取分支为研究对象，根据受力平衡方程求解垂直于分支轴线方向的约束力大小；

(3)将上述求得的约束力分量视作结构受到的一部分广义外力，取各分支的公共交点(或共用杆件)为研究对象建立受力平衡方程,并建立各分支在轴向约束力和轴向重力分量作用下的变形协调方程；

(4)基于步骤(3)建立的受力平衡方程和变形协调方程即可求解各分支轴向的约束力大小；

步骤(2)和步骤(4)给出了考虑分支重力情况下，超静定结构各约束力的完整解析表达式。

下面将上述求解超静定结构受力分析问题的一般步骤应用于空间超静定结构7-SS的受力分析中，以检验其通用性，并分析重力对7-SS超静定结构受力的影响机理。

2 重力对7-SS超静定结构受力的影响分析

如图5所示，7-SS并联六维力传感器由上平台、下平台以及7个测量分支DiUi(i=1,2,…，7)组成，各分支两端均通过球副(S)与上下平台连接。每个分支提供给上平台1个约束力，故上平台共受到7个约束力，以上平台为研究对象最多能建立6个独立的平衡方程，因此，7-SS并联结构为空间一次超静定结构。

图5 7-SS并联六维力传感器结构简图Fig.5 Schematic diagram of 7-SS parallel six-axis force sensor

当不考虑分支重力时，各分支仅提供给上平台1个沿分支轴线方向的约束力，根据文献[15]即可求解7个分支约束力大小。

当考虑分支重力时，除中间竖直方向的分支外，其余分支末端均提供给上平台1个处于由分支轴线和其重力矢量决定的平面内的任意方向的约束力，根据前述步骤(1)将其分解为沿分支轴线和垂直分支轴线的两个分量fi和fpi，i=1,2,…,6。根据步骤(2)，以分支i为研究对象，取关于Di点的力矩平衡方程，即可求得垂直分支轴线的约束力分量的大小为

fpi=Gisinα/2i=1,2,…,6

(19)

式中，Gi为第i分支杆的重力大小;α为分支轴线和重力矢量之间的夹角。

在上平台中心O点建立图5所示的参考坐标系OXYZ，在参考坐标系下，分别用螺旋$i和$pi表示各分支提供给上平台的约束力的两个分量fi和fpi。根据步骤(3)将7-SS超静定结构的各分支重力引起的垂直于分支轴线方向的约束力分量$pi视作施加到上平台的广义外力，则对上平台可建立如下受力平衡方程:

(20)

fp=(fp1,fp2,…,fp6)Tf=(f1,f2,…,f7)T

$F=(Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz)T

同理，7-SS结构的各分支轴向约束力、轴向重力分量与分支轴向弹性变形之间存在以下关系:

f=KaΔX+Ga/2

(21)

Ka=diag(k1,k2,…,k7) ΔX=(Δl1,Δl2,…,Δl7)T
Ga=(Ga1,Ga2,…,Ga7)T
Gai=G1cosαi=1,2,…,6；Ga7=G7

假设上平台的刚度远比7个分支的刚度大，将其视为刚体，则各分支产生的轴向变形Δlj与上平台在外载荷作用下产生的六维微位移D之间满足以下协调关系：

(22)

将上式整理为矩阵形式，可得

(23)

D=(δx,δy,δz,φx,φy,φz)T

联立式(20)、式(21)和式(23)即可得到考虑分支重力的情况下，7-SS超静定结构各分支轴向约束力与外力及各分支重力之间的映射关系为

(24)

3 重力对装配内力的影响

超静定结构中存在冗余约束，若各杆件的制造长度不相匹配，则组装后各杆中将会产生装配内力。若考虑各杆重力，则结构中将会产生附加的装配内力。

图6 3-RR的实际装配位形Fig.6 Actual assembly configuration of 3-RR structure

假设，由于制造误差图1所示的超静定结构3-RR的分支杆BD比应有长度短了Δe，则装配后各杆交于D1点，如图6所示，杆AD和CD受压，中间杆BD受拉。

根据前述分析，分支AD(或CD)的重力在结构的装配点D1处产生的垂直于分支轴线的约束力分量可由分支受力平衡方程求解，各分支轴向的约束力则根据D1点的受力平衡方程和变形协调方程即可求解。取D1点为研究对象，其受力示意图见图7。

图7 D1点受力示意图Fig.7 Force diagram of the point D1

同理，将分支AD和CD的重力引起的垂直于分支轴线方向的约束力fpi视作D1点受到的广义外力，则有如下受力平衡方程：

(25)

存在制造误差时，该结构的变形协调方程为

(26)

联立式(25)和式(26)即可得各分支轴线方向的装配内力与重力之间的解析表达式为

(27)

由式(3)、式(4)和式(27)可发现：各分支重力对装配内力的影响有两部分，对沿垂直分支轴线方向内力的影响仅与垂直于分支轴线的重力分量有关，而对沿轴线方向装配内力的影响与重力在垂直分支轴线和沿轴线的两个分量均有关，具体值由式(27)决定。

4 数值算例与仿真验证

4.1 3-RR平面超静定结构

给定3-RR超静定结构的一组参数：三分支均为横截面直径d=9 mm的圆柱杆，弹性模量均为E=207 GPa，α=30°，杆长l1=l3=200 mm，密度ρ=7.801 g/cm3，重力加速度g=9.8 m/s2。 根据文献[21]提出的过约束并联机构受力分析的仿真方法建立3-RR结构的刚柔混合模型，如图8所示，其中三个分支杆为柔性体，基座为刚体。

图8 3-RR结构的仿真模型Fig.8 Simulation model of 3-RR structure

在D点施加外力F=(0,10 N)T，考虑分支重力情况下得到各分支约束力的理论值和仿真值如表1所示。表2给出了未考虑重力和考虑重力两种情况下3-RR超静定结构各分支约束力的理论值。

表1 考虑重力时3-RR结构各分支约束力的理论值与仿真值Tab.1 Theoretical and simulation values of the constraint forces of 3-RR structure considering gravity

注：误差=|理论值-仿真值|/仿真值，下同。

从表1中可以看出,由于约束力分量fp1、fp2和fp3只与各分支重力大小有关，与结构的变形无关，仅参与对应分支的受力平衡方程，因此其理论值和仿真值完全一致；而沿各分支轴线方向的约束力分量不仅与结构的受力平衡有关，而且与结构的变形有关，因此其理论值与仿真值之间存在一定的误差，但三个量的误差均小于0.8%，该误差主要是由建立各分支柔性体时所采用的网格划分方法、网格尺寸大小等引起的。总地来说，表1中的误差表明了理论计算的正确性。

表2 未考虑重力和考虑重力条件下3-RR结构各分支约束力的理论值

注：“重力影响百分比”为两种情况下分支约束力大小的差值与分支重力的百分比，下同。

从表2可以看出，当分支轴线方向与重力方向不一致时，虽然重力对沿分支轴线方向的约束力(如f1和f3)产生的影响不显著，但是额外引起了与分支轴线方向垂直的约束力(如fp1和fp3)，该约束力的大小取决于分支重力和分支轴线与重力方向之间的夹角；当分支轴线方向与重力方向一致时，重力对该分支轴线方向的约束力影响较大，重力影响百分比为23%。重力对3-RR结构各分支约束反力的影响程度会随着分支质量、分支轴线与重力方向之间的夹角以及外载荷的不同而不同。

4.2 7-SS空间超静定结构

给定7-SS超静定结构的一组参数如表3所示，各分支为具有相同横截面尺寸的圆柱杆，弹性模量均为E=207 GPa，密度ρ=7.801 g/cm3，Ru为上平台球铰点的分布半径，Rd1、Rd2分别为下平台内圈和外圈球铰点的分布半径，H为上下平台间的距离，α1、β1分别表示下上平台第一个球铰点和坐标原点连线在OXY平面内的投影与参考坐标系X轴的夹角，α2、β2分别表示下上平台第四个球铰点和坐标原点连线在OXY平面内的投影与坐标系X轴的夹角。

表3 7-SS并联结构的结构参数

图9 7-SS并联结构的仿真模型Fig.9 Simulation model of 7-SS parallel structure

建立图9所示的7-SS结构的刚柔混合模型，其中各分支杆为柔性体，上下平台为刚体。

在O点施加六维外力$F=(20 N,25 N,20 N,25 N·m,20 N·m,25 N·m)T，考虑各分支重力时，得到各分支约束力的理论值和仿真值如表4所示。此外，表5给出了未考虑重力和考虑重力两种情况下7-SS超静定结构各分支约束力的理论值。

表4 考虑重力时7-SS结构各分支约束力的理论值与仿真值Tab.4 Theoretical and simulation values of the constraint forces of 7-SS structure considering gravity

表5 未考虑重力和考虑重力条件下7-SS结构各分支约束力的理论值Tab.5 Theoretical values of the constraint forces of 7-SS structure between considering gravity and not

从表4中也可以看出垂直各分支轴线方向的约束力分量fp1～fp7的理论值和仿真值完全一致，沿各分支轴线方向的约束力分量f1～f7的理论值和仿真值之间的误差不超过1.3%，同理，该误差是由建立7-SS结构各分支的柔性体模型时所采用的建模方法引起的。

从表5中可以看出不管分支轴线方向是否与重力方向一致，重力对7-SS结构的各分支约束力均产生了较大的影响，在未考虑重力和考虑重力两种情况下各分支约束力的差值占对应分支重力的百分比超过了20%，其中，重力对分支7产生的影响最大，在该结构上平台受到的外载荷一定的情况下，未考虑重力时求得沿分支7轴线方向的约束力为正，表示该分支受拉;而当考虑重力时求得该分支受压，这是因为当考虑重力时，轴线方向与重力方向不一致的分支1～6产生了垂直自身轴线方向的约束力fp1～fp6，根据前述理论分析,这些约束力相当于施加到结构上平台的广义外力，再加上原有的外载荷，使得在这种情况下分支7受压。

5 结论

本文提出了一种考虑分支重力时求解超静定结构受力问题的方法，分析结果表明分支杆重力对超静定结构分支约束力的影响分为两部分：①对沿垂直分支轴线方向约束力的影响仅与垂直于分支轴线的重力分量有关;②对沿轴线方向约束力的影响与重力在垂直分支轴线和沿着其轴线的两个分量均有关，并满足一定的解析表达式。

本文提出的考虑分支重力情况下对超静定结构的受力分析方法进一步完善了超静定结构的力学分析，对实际工程中超静定结构的受力分析提供了理论指导依据，对分析一般过约束机构的静不定力学问题具有一定的借鉴意义。

[1] ROJAS A L, REYES-ESPINO J V, CABALLERO-GARCIA K C. The Moment-distribution Method for Statically Indeterminate Beams Using Three Different Models [J]. International Journal of Innovative Computing, Information and Control, 2014, 10(5):1765-1782.

[2] ROJAS A L. Method of Structural Analysis for Statically Indeterminate Rigid Frames [J]. International Journal of Innovative Computing, Information and Control, 2013, 9(5):1951-1970.

[3] 李银山, 李彤, 郭晓欢, 等. 索-梁耦合超静定结构的一种快速解析法 [J]. 工程力学, 2014, 31(增刊1):11-16. LI Yinshan, LI Tong, GUO Xiaohuan, et al. A Fast Analytical Method for Statically Indeterminate Problems of Cable-beam Coupled Structures [J]. Engineering Mechanics, 2014, 31(S1):11-16.

[4] 边文凤, 董正筑. 超静定桁架变形协调方程的新方法 [J]. 计算力学学报, 2002, 19(2):250-252. BIAN Wenfeng, DONG Zhengzhu. A New Method for Problem of Hyperstatic Truss [J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2002, 19(2):250-252.

[5] 皮天祥, 罗俊, 张爱环, 等. 跨高比L/h≤1.5复合配筋连梁箍筋受力性能的拉杆-压杆模型分析 [J]. 工程力学, 2015, 32(4):69-76. PI Tianxiang, LUO Jun, ZHANG Aihuan, et al. Strut and Tie Model Analysis of Shear Capacity for Stirrup in Compositely Reinforced Coupling Beams with Span-to-depth RatioL/h≤1.5 [J]. Engineering Mechanics, 2015, 32(4):69-76.

[6] ABBAS A A, MOHSIN S M S, CPTSOVOS D M. Non-linear Analysis of Statically Indeterminate SFRC Columns [J]. Structural Concrete, 2014, 15(1):94-105.

[7] ABBAS A , MOHSIN S, COTSOVOS D, et al. Statically-indeterminate SFRC Columns under Cyclic Loads [J]. Advances in Structural Engineering, 2014, 17(10):1403-1417.

[8] 吴晓, 黄志刚, 杨立军. 用拉格朗日乘子法求解双模量静不定结构[J]. 力学与实践, 2013, 35(6):79-81.WU Xiao, HUANG Zhigang, YANG Lijun. Force Analysis of the Statically Indeterminate Structures with Double Modulus by Lagrange Multiplier Method [J]. Mechanics in Engineering, 2013, 35(6):79-81.

[9] 隋允康, 邵建义. 自适应超静定桁架结构强度控制的研究 [J]. 固体力学学报, 2001, 22(2):136-142. SUI Yunkang, SHAO Jianyi. Research on Strength Control for Adaptive Structure of Statically Indeterminate Truss [J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2001, 22(2):136-142.

[10] QIN Y D, SHIRINZADEH B J, ZHANG D W, et al. Compliance Modeling and Analysis of Statically Indeterminate Symmetric Flexure Structures [J]. Precision Engineering, 2013, 37:415-424.

[11] XU Y D, YAO J T, ZHAO Y S. Inverse Dynamics and Internal Forces of the Redundantly Actuated Parallel Manipulators [J]. Mechanism and Machine Theory, 2012, 51:172-184.

[12] FATEMI S, SHEIKH A, ALI M. Development and Application of an Analytical Model for Horizontally Curved Bridge Decks [J]. Advances in Structural Engineering, 2015, 18(1):107-117.

[13] YAO J T, HOU Y L, CHEN J, et al. Theoretical Analysis and Experiment Research of a Statically Indeterminate Pre-stressed Six-axis Force Sensor [J]. Sensors and Actuators A: Physical, 2009, 150:1-11.

[14] 姚建涛，李立建，许允斗，等. 超静定六维力传感器静定测量模型及标定方法 [J]. 仪器仪表学报, 2013, 34(9):1927-1933. YAO Jiantao, LI Lijian, XU Yundou, et al. Statically Determinate Measurement Model and Calibration Method of Statically Indeterminate Six-axis Force Sensor [J]. Chinese Journal of Scientific Instrument. 2013, 34(9):1927-1933.

[15] 姚建涛, 李立建, 许允斗, 等. 冗余并联结构六维力传感器及其超静定静力映射解析分析 [J]. 工程力学, 2014, 31(10):205-211. YAO Jiantao, LI Lijian, XU Yundou, et al. Redundant-parallel Structure Six-axis Force Sensor and Hyperstatic Static Mapping Analytical Analysis [J]. Engineering Mechanics, 2014, 31(10):205-211.

[16] 韩先国，陈五一. 基于运动约束解过约束并联机构变形协调方程 [J]. 力学与实践, 2005, 27(3):65-68. HAN Xianguo, CHEN Wuyi. The Method to Solve the Compatibility Equation of Distortion of Over constraint Parallel Manipulator Based on Kinematic Constraint [J]. Mechanics in Engineering, 2005, 27(3):65-68.

[17] JIA Z Y, LIN S, LIU W. Measurement Method of Six-axis Load Sharing Based on the Stewart Platform [J]. Measurement, 2010, 43(3):329-335.

[18] YANG D X, CHEN G H, DU Z L. Direct Kinematic Method for Exactly Constructing Influence Lines of Forces of Statically Indeterminate Structures [J]. Structural Engineering and Mechanics, 2015, 54(4):793-807.

[19] KOWAL Z. Instruments of Probabilistic Optimization of Load Bearing Capacity and Reliability of Statically Indeterminate Complex Structures [J]. Archives of Civil Engineering, 2014, 60(1):77-90.

[20] 陈永林. 广义逆矩阵的理论与方法 [M]. 南京：南京师范大学出版社, 2005：36. CHEN Yonglin. The Theory and Method of Generalized Inverse Matrix[M]. Nanjing: Nanjing Normal University Press, 2005:36.

[21] 赵永生, 刘文兰, 许允斗, 等. 一种过约束并联机构受力的数值仿真分析方法 [J]. 中国机械工程, 2015, 26(12):1576-1583. ZHAO Yongsheng, LIU Wenlan, XU Yundou, et al. A Numerical Simulation Method for Force Analysis of an Overconstrained PM [J]. China Mechanical Engineering, 2015, 26(12):1576-1583.

(编辑 王艳丽)

Influences of Limbs’ Gravity on Force Analyses of Statically Indeterminate Structures

LIU Wenlan1XU Yundou1,2YAN Wennan1YAO Jiantao1,2ZHAO Yongsheng1,2

1.Parallel Robot and Mechatronic System Laboratory of Hebei Province, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei, 066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science of Ministry of National Education,Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei, 066004

In view of the facts that the literatures about force analyses of the statically indeterminate structures almost had not considered limb’s gravity at present, a method was proposed, which took it into account. Firstly, the constraint force components perpendicular to the axis of each limb which were caused by the corresponding limbs’ gravity were solved based on single limb’s torque equilibrium equations, and it was regarded as the generalized force imposed on the whole structure. Then, according to the force equilibrium equations and deformation compatibility conditions of the whole structure, the analytical expressions were derived including the limbs’ axial constraint force components and the assembly internal forces brought by manufacturing errors. Finally, the influences of limbs’ gravity on the force analysis of the statically indeterminate structures were discussed. Taking the planar mechanism 3-RR and the spatial mechanism 7-SS as examples, the constraint forces were analyzed and the rigid-flexible mixed models of the two mechanisms were established. Based on the models the theoretical results were verified.

gravity; statically indeterminate structure; 3-RR structure; 7-SS parallel mechanism; force analysis; assembly force

2016-06-16

国家自然科学基金资助项目(51275439)；国家重点基础研究发展计划(973计划)资助项目(2013CB733000)

TH112DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2017.06.003

刘文兰，女，1990年生。燕山大学机械工程学院博士研究生。主要研究方向为过约束并联机构的受力分析。发表论文3篇。许允斗，男，1985年生。燕山大学机械工程学院副教授。闫文楠，男，1992年生。燕山大学机械工程学院硕士研究生。姚建涛，男，1980年生。燕山大学机械工程学院副教授。赵永生(通信作者)，男，1962年生。燕山大学副校长，机械工程学院教授、博士研究生导师。E-mail：yszhao@ysu.edu.cn。