陕西师范大学附属中学(710056) 曹艳

线段和的最小值问题再探究

陕西师范大学附属中学(710056) 曹艳

初中阶段的线段最值问题都是以“两点之间,线段最短”为理论依据的.同时实际运用过程中也用到“三角形两边之和大于第三边”,“三角形两边之差小于第三边”,有时候还会结合“垂线段最短”的结论.无论是两条线段和还是三条线段和的最小值问题,最终都要转换为两点之间线段最短问题.

一、利用轴对称变换求解线段和最小值

基本模型:

1.“一定一动”问题:根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”,可知已知点到已知线段的最小值为对应垂线段长度.

2.“两定一动”问题:教材中的“牛奶站”问题,“将军饮马”问题等,都是根据轴对称性,结合“两点之间,线段最短”来求线段和的最小值,可以归结为“两定一动”问题.

3.“一定两动”问题:

例1.如图1,点P位于l1和l2之间,M、N分别在l1和l2上,试确定 M、N 位置使得PM+MN+PN最小.

图1

分析:这个问题需要作点P关于l1和l2的对称点,PM+MN+PN=P′M+ MN+P′′N≥P′P′′,即点P′、M、N、P′′四点共线时PM+MN+PN最小.这个模型还可以放至菱形或者等腰三角形中.

例2.如图2,点P位于l1和l2之间,M、N分别在l1和l2上.试确定M、N位置使得PM+MN最小.

图2

分析:此题只需作点 P关于 l1的对称点 P′,有PM+MN=P′M+MN≥P′N,即当P′、M、N三点共线时PM+MN最小,为P′N.点N在l2上运动,由垂线段最短可知,当P′N⊥l2时P′N最小,此时PM+MN最小.

4.“两定两动”问题:

例3.如图3,P、Q为定点,M为l1上一动点,N为l2上一动点,求PQ+PM+MN+NQ的最小值.

图3

分析:作点P关于l1的对称点P′,点Q关于l2的对称点Q′,则PQ+PM+MN+NQ=PQ+P′M+MN+NQ′≥PQ+P′Q′,当P′、M、N、Q′四点共线时PQ+PM+MN+ NQ最小,为PQ+P′Q′.

有的则需要借助平移来转化为……