华南师范大学数学科学学院(510631) 莫玉桂

运用波利亚解题理论谈一道平面几何题的思维历程

华南师范大学数学科学学院(510631) 莫玉桂

在数学教学中,《数学课程标准》建议教师“让学生在现实情境中体验和理解数学”[1],可见在体验中感悟数学知识是学生掌握数学知识和技能的重要途径.笔者以数学联结能力和数学洞察力为立意,以波利亚解题理论为载体,以一道初中平面几何题的解题困惑为线索,对例题进行分析,力图消除教师及学生对数学解题的神秘感和恐惧感,使数学解题成为生动和有趣的事情.

1 问题

例如图所示,在△ABC中,∠CAB是钝角,AB=BD= DC,∠BCA=30°,求∠CAD的大小.

图1

2 解题分析

第一阶段,弄清问题[2]

问题1 题目要我们求解的是什么?

要求解的是∠CAD的大小.

问题2 我们有些什么?

第一,题目所给的三个条件,即∠CAB是钝角,AB= BD=DC,∠BCA=30°;第二,在八年级就学习过的一个性质,即“在直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半”;第三,已经学习过的全等三角形的判定定理;第四,已经学习了三角形内角和定理、等腰三角形的性质等一些基础性的知识点.

第二阶段,制定计划[2]

问题3 怎样才能求得∠CAD的大小?

思路 1:由几组边相等可以转化为角相等以及∠BCA=30°等条件认为利用三角形内角和定理即可解答.经过计算,得到的结果总是恒等式,因此提出两点困惑:如若利用三角形内角和定理来解答,则只用到了题中的两个条件,而“∠CAB是钝角”这个条件对本题的解答起何作用?此外,“∠BCA=30°”这个条件除了可以用于三角形内角和定理的求解思路中还能怎么运用?由此得出思路2.

思路2:若将∠BCA=30°放在一个直角三角形中,一方面可以求得另一个锐角为,这样等于条件多了一个已知量,更加便于求∠CAD的大小;另一方面还可以利用“在直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半”这一性质进行一些必要的证明.因此需添加辅助线构造出关于∠BCA=30°的直角三角形.

问题4如何选取有效的辅助线?

根据上面的分析可在图中做出三条与解题较为相关的辅助线,即BF,EG,以及过A作BC的垂线,构成以∠BCA为内角的直角三角形.然而实际上这三条辅助线中只有两条是对于本题的解答有帮助的,此时就需要教师引导学生学会利用已知条件选取有效的辅助线,且更进一步理解辅助线的用处,杜绝乱添加辅助线的行为,从而提高解题效率.

问题5“在直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半”用于何处?

学生直接运用这一性质,则比较容易能够证明出△BDG和△BAF全等,但由于最终的解答需要多次进行角之间的相互转化,基础比较薄弱的学生不易想到后面几步的转化.因此,教师在讲解这一部分时可以采用逆推法,从结论开始进行分析,逐步引出所需要的条件,最终得以解答,这样一个循序渐进的过程能够使学生易于接受.

第三阶段,实施计划[2]

解过B作CA的垂线BF交CA的延长线于F,过D作DG⊥BC交于G,延长GD交AC于E.∵BD=DC,∴BG= GC.∵在Rt△BFC中,∠BCF=30°,∴BF=BG.又∵AB=BD,∴△BDG△BAF,∴∠BDG=∠BAF ,∴∠FAD=∠GDA,∴∠EAD=∠EDA.又∵在Rt△CGE中,∠BCF=30°,∠GEC=60°,∴∠AED= 120°,∴∠CAD=∠EDA=30°.

图2

第四阶段,回顾[2]

困惑∠CAB是钝角的意义.

上述的解答还是没有将“∠CAB是钝角”的作用进行说明,学生也许会认为这个条件是多余的,但实际上这个条件对于求解结果起着至关重要的作用,这就需要教师在回顾这一阶段对学生加以引导.不过,教师恐怕很难解释得清楚“∠CAB是钝角”这个条件在解题中的作用,此时,教师应该引导学生从不同的角度看问题,从而发现“∠CAB是钝角”的奥妙所在.

根据三角形关于角可以分成三类,下面可分别从三个不同的角度去分析∠CAB的意义.

角度1特殊化观点看清题目本质,即∠CAB=90°.

既然本题的关键是利用“在直角三角形中,角所对的是直角边的一半”,那么可以从最那么可以从最简单的情况入手,由简入深.

当∠CAB=90°时,即点A与点F重合,点D和点G重合,由AB=AD和∠ABC=60°可证△ABD是等边三角形,则AD=DC,于是求得∠CAD=30°.

图3

通过与原题比较可知,点A和点D都移动到了特殊的位置,但是与分析角度关系最为密切的是点A的位置变化(由于∠CAB是随着点A的变化而变化),因此在分析过程中应该更多的关注点A的位置变化.

角度2 点D在Rt△BFC外,证∠CAB=150°.

原题是点D在Rt△BFC内的情况.从“角度1”的分析中可以知道点D的位置会随着点A的位置变化而变化,由此利用几何画板可知当点A在线段CF上移动时,点D始终在Rt△BFC外时,∠CAB仍然是钝角并且∠CAB=150°.

下面给出相应的证明.

图4

过B作CA的垂线BF交CA的延长线于 F,过 D作DG⊥BC于G.∵BD=DC,∴BG=GC.∵在Rt△BFC中,∠BCF=30°,∴BF=BG.又∵AB=BD,∴△BDG△BAF.∴∠BDG=∠BAF,∴∠EAD=∠EDA.又∵在Rt△CGE中,∠BCF=30°,∴∠GEC=60°,∴∠AED=120°,∴∠EAD=∠EDA= 30°,∴∠CAD=150°.

角度 3 运动的观点看 ∠CAD的角度变化,即0°＜∠CAB＜90°.

图5

当0°＜ ∠CAB ＜ 90°时,利用已知条件同样可以证明△BDG△BAF,但是却不能运用类似于原题的方法来求解,而且根据中学生实际的知识水平,暂时还不能求解出∠CAD的具体度数.由题目与角度2注意到∠CAD的度数随着点A的位置变化而变化,因此当点A是CF的延长线上的任意一点时,教师可以利用几何画板一起与学生探究∠CAD的度数会随着点A的变化而怎样变化.通过比较发现每次移动点A时,∠CAD的度数都是不同的.

角度4 一图看所有情况.

当点A与点C重合时△ABD变成了一个等边三角形,根据题目的条件及以上的分析考虑作其对称图形,于是将求解∠DAC转化为求解相应相等角.综合以上分析,笔者将在一个等边三角形中分析上述所有情况.

由以上的分析可做出图形如右图所示,过B作CA的垂线BF交CA的延长线于F,过D作DG⊥BC于G,以BF为对称轴作△C′FC△BFC,C′G⊥BC,且C′G交AC于E,连接AC′.

图6

首先说明一点,以下两种情况不满足题意,故下面的分析对其不进行考虑.第一,点A与点D在E处重合,第二,点A与点C重合同时点D与点B重合.

(1)当点A在CE的上移动时,即图中点A′的位置,从图中我们易知四边形CA′D′C′是一个等腰梯形,所以根据∠CA′D′+∠ACC′=180°以及∠ACC′=30°得∠D′A′C=150°.

(2)当点A在EF的上移动时,同样易知,四边形CDAC′是一个等腰梯形,因此可求得∠CAD=∠ACC′= 30°.

(3)当点A与点F重合时,易知∠DAC=30°.

(4)当点 A在 CF的延长线上移动时,即图中点A′′的位置,同理可以证明△BGD′′△BFA′′,则由∠FBA′′=∠GBD′′和∠GBF=60°可知∠A′′BD′′= 60°.又由BA′′=BD′′得△BA′′D′′是等边三角形,则A′′D′′=BD′′=CD′′,故∠CA′′D′′=∠D′′CA′′.由此可知∠CA′′D′′的角度会随着∠A′′D′C的变化而变化,而∠CA′′D′′会随着点A的移动而变化.由于题目所给的已知条件有限,故不能求解出的具体度数.

结论:通过对以上的“角度分析”进行比较可以得出以下结论.

(1)当点A与点F重合时,∠DAC=30°;

(2)当点A在CF的延长线上移动时,∠DAC的度数随着点A的移动而变化;

(3)当点A在EF的上移动时,∠DAC=30°;

(4)当点A在EC的上移动时,∠DAC=30°.

3 结语

本文意在突出解题理论的习惯性分析问题、解答问题的历程,重点强调一题多变对学生能力提升的重大意义,以及题海战术的不可取性.为了让学生能够更系统地学习几何题的解法,提高此类问题的教学质量,笔者认为应该做到以下几点:首先,教师应从学生的学情出发选取或命制不同难易程度的题目,以便于学生由表及里地对此类题目进行练习、总结和提升.其次,教师应从学生的思维习惯出发,多角度分析此类题目,指导学生发现解题障碍及其突破口,从而进行更加有效的数学问题解决教学.最后,我们应该将解题历程思维训练上升到系统的理论知识,使其能用于指导学生学习,指导教师教学.

[1]严士建,张奠宙,王尚志.普通高中数学课程标准(实验)解读[M].南京:江苏教育出版社,2003.

[2]罗增儒,罗新兵.波利亚的怎样解题表[J].中学数学教学参考(教师版),2004年第5期:29-32.