华南师范大学数学科学学院(510631) 莫玉桂

运用波利亚解题理论谈一道平面几何题的思维历程

华南师范大学数学科学学院(510631) 莫玉桂

在数学教学中,《数学课程标准》建议教师“让学生在现实情境中体验和理解数学”[1],可见在体验中感悟数学知识是学生掌握数学知识和技能的重要途径.笔者以数学联结能力和数学洞察力为立意,以波利亚解题理论为载体,以一道初中平面几何题的解题困惑为线索,对例题进行分析,力图消除教师及学生对数学解题的神秘感和恐惧感,使数学解题成为生动和有趣的事情.

1 问题

例如图所示,在△ABC中,∠CAB是钝角,AB=BD= DC,∠BCA=30°,求∠CAD的大小.

图1

2 解题分析

第一阶段,弄清问题[2]

问题1 题目要我们求解的是什么?

要求解的是∠CAD的大小.

问题2 我们有些什么?

第一,题目所给的三个条件,即∠CAB是钝角,AB= BD=DC,∠BCA=30°;第二,在八年级就学习过的一个性质,即“在直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半”;第三,已经学习过的全等三角形的判定定理;第四,已经学习了三角形内角和定理、等腰三角形的性质等一些基础性的知识点.

第二阶段,制定计划[2]

问题3 怎样才能求得∠CAD的大小?

思路 1:由几组边相等可以转化为角相等以及∠BCA=30°等条件认为利用三角形内角和定理即可解答.经过计算,得到的结果总是恒等式,因此提出两点困惑:如若利用三角形内角和定理来解答,则只用到了题中的两个条件,而“∠CAB是钝角”这个条件对本题的解答起何作用?此外,“∠BCA=30°”这个条件除了可以用于三……