郭兴甫

集合与常用逻辑用语是高中数学的重要基础知识，同时也是高考命题的热点，从近几年各地的高考试题来看，集合与常用逻辑用语的题型主要以选择题、填空题的形式出现，同时也渗透到函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等问题中，分值在10分与20分之间.为了能更好地帮助同学们对这部分内容进行复习，本文举例说明其常见类型及求解策略.

一、集合及其运算

评注：对集合中的元素特征的理解是解决本题的基础，用a表示集合C是本题的一个难点.

三、以集合为背景的新定义问题

例4以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sin x时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“b∈R，a∈D，f（a）=b”；

②若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值；

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）B；

④若函数f（x）=aln（x+2）+xx2+1（x>-2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.

其中的真命题是.（写出所有真命题的序号）

解析：根据题意，得集合A中的元素是值域为R的函数，集合B中的元素是值域关于原点对称的一个区间的一个子集的函数.

①显然为真命题，因为对任意b∈R，存在定义域D中的a，有f（a）=b，这与f（x）∈A等价.②反例：函数y=12x+1的值域为（0，1），存在M=1符合题意，但此函数没有最值.③当f（x）趋于+∞时，无论g（x）在[-M，M]内如何取值，f（x）+g（x）都趋于+∞，所以f（x）+g（x）不可能有最大值，此命题为真命题.④由于ln（x+2）的值域为R，xx2+1的值域为[-12，12]，由③可知，如果a≠0，则函数f（x）=aln（x+2）+xx2+1的值域为R，无最大值，与已知矛盾，所以a=0.所以此命题为真命题.综上所述，①③④为真命题.故……