杭州师范大学 钱丽娜

APOS理论下的平均数概念教学研究

杭州师范大学 钱丽娜

概念教学在小学数学教学中非常重要，学生只有牢固地掌握概念，才能深入研究与该概念相关的内容。不少研究者指出，数学概念具有“过程——对象”的二重性特点，概念的二重性决定了概念认知的二重性、数学思维的二重性。在这方面，美国杜宾斯基等人在教育研究实践中发展起来的一种APOS理论对数学概念的学习有所启示。本文试图探讨APOS理论下的小学数学概念教学，通过平均数这个重要的概念阐述APOS理论的应用。

APOS理论；概念教学；平均数

一、研究背景

课标指出，数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教学既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。数学概念是数学思维的核心，从某种意义上来说，数学概念是建成数学大厦必不可少的基石。在小学数学教材中有非常多的概念，有数的概念、形的概念、运算的概念等等，主要分布在数与代数、图形与几何、统计与概率这三大领域，这些概念在培养学生的数感、空间观念、数据分析等核心素养和创新意识方面有不可替代的作用。现代心理学研究表明，一个人的创造力不仅取决于知识，还取决于思维方式。而概念本身更多的是知识层面含量，概念的产生形成过程更多的是思维的结果。传统的概念教学中往往有两种倾向，一种是倾向于按学生的认知结构来组织教学，忽视了知识的内在结构；一种是倾向于按知识内在结构来组织教学，忽视了学生的认知顺序。两种倾向都会使学生对概念的认识缺乏本质深刻的认识。而APOS理论就很好地将两者有效结合了起来，体现了“过程”与“对象”的双重性，这与当前的课标理念是一致的，课标指出“数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”。让学生通过自身动手实践、自主探索、合作交流，经历概念的认识、形成、深化、整合，获得基本的数学活动经验。

二、理论介绍

APOS理论是由美国杜宾斯基在二十世纪八十年代所提出来的，该理论是皮亚杰“自反抽象”理论的一种拓展。该理论是用于概念教学的一种新模式，不仅适用于数学概念教学，也适合其他诸如物理、化学、生物里的概念教学，在不同学科中有各自的用法及意义。APOS理论，是由Action（活动）、Process（过程）、Object（对象）、Scheme（图示）四个单词的首字母组成，这四个单词也表明了概念学习的四个心理阶段。活动（Action）阶段，是概念建立的起点，活动不仅包括动手的活动，还包括思维活动（回忆、猜想、判断等），对感知到的对象进行转化；过程（Process）阶段，不断地重复活动，学生就会从自己的活动中得到不断的反思，从而在大脑中进行内部的心理建构，这个阶段中，学生已经不再需要进行外部的刺激，而是思考每个过程，对概念形成一般性的认识，由感性上升到理性。对象（Object）阶段，当概念发展到这个阶段时，学生会把过程看作一个整体，作为一个一般的对象并操作，这时学生不仅能认识到概念本质，还会看到这个概念其他的性质，并且可以把这个对象作为独立的对象和其他对象进行数学活动，操作别的对象并被更高级的对象进行操作，为后面的学习打下基础。图示（Scheme）阶段，个体对活动、过程、对象以及头脑中已有的相关图示进行整合，判断某些问题或者某类问题是否属于这个图示，从而做出不同的反应。

三、理论应用

下面就结合平均数教学来进行实例分析。

教材分析：平均数是人教版四年级第八单元的内容，是统计中的一个重要概念。在统计中，平均数常用于表示统计对象的一般水平，它是描述数据集中程度的一个统计量。用平均数表示一组数据的情况，有直观、简明的特点，所以在日常生活中经常用到，学生掌握并理解这一概念非常重要。将APOS理论应用于平均数教学中，具体过程如下：

第一阶段：活动（Action）阶段。学生在生活中经常会碰到面对几组不同数量的物品，要使每组物品一样多的情景。这时学生虽然没有平均数的概念，但学生通过实际操作已经知道，要使每组物品一样多，通过移多补少就可以。在操作活动中，学生积累了活动经验，为学习平均数奠定了基础，也成为学生反省抽象的基础，学生可以在丰富的操作之后抽象出总数÷份数即可。

第二阶段：过程（Process）阶段。重复多次进行移多补少的活动以及不断对这一活动进行反省以后，学生可以不借助实际物品，而在头脑中进行想象的操作活动，即进行心理建构，形成概念的过程模式。在过程阶段，学生从大量的平均数实例中抽象出求平均数用总数÷份数计算比较方便。处于过程阶段的概念表现为一系列步骤，有操作性，相对直观，比较容易理解。

第三阶段：对象（Object）阶段。当学生意识到可以把这个过程看作一个整体进行思维，并意识到可以对这个整体进行转换和操作的时候，学生已经把这个过程作为普通的数学对象，形成一个“实体”。在这个时候，教师不但可以引导学生去探究它所具有的各种性质，也可以此为对象实施特定的数学演算。如平均数概念一旦形成一个“实体”，进入对象状态，便呈现一种静态结构关系，学生可以认识平均数中各部分之间的关系：总数÷份数=平均数。

第四阶段：图示（Scheme）阶段。此时的“平均数”概念以一种综合的心理图式存在于脑海中，在数学知识体系中占有特定的地位。这种心理图式含有具体的移多补少的实例、抽象的过程、完整的定义及其结构关系，乃至和其他概念的区别和联系。在图式阶段，学生不仅能清楚地判断何种问题情境用平均数计算以及计算方法，同时能清楚地知道平均数各部分之间的关系，还可以理解平均数表示的含义，用平均数来理解一些生活现象。

四、思考

这个理论不仅指出学生的学习过程是建构的，而且表明建构的层次。这四个阶段一般不能逾越，应当循序渐进，同时，又不可只停留在具体、直观、视觉化的阶段，必须升华、逐级地抽象、不断形式化，最后完成数学概念的建立。值得注意的是，首先，APOS理论并不适合所有的数学概念，它比较适合具有探究意味的概念，通过探究，可以将抽象的概念更加具体；其次，与高等数学领域的不同之处在于，初等数学中，在活动阶段依赖于具体的操作对象，通过过程和对象阶段不断相互作用，形成一个新的抽象的对象，而在高等数学中可以依赖于抽象的操作对象进行活动，通过过程和对象阶段不断相互作用，形成一个新的抽象的对象。

[1]中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准：2011年版[M]． 北京：北京师范大学出版社, 2011．

[2]佟亮亮． APOS理论视角下数学概念教学模式的探究[D]．东北师范大学, 2013．

[3]白雪霏． APOS理论下的高中导数概念教学研究[D]．河北师范大学, 2014．

[4]莫韬． 基于APOS理论的圆锥曲线概念教学实证研究[D]． 广西师范大学, 2007．