巨明杰+李红红

一、问题的提出

《义务教育数学课程标准》明确提出了学生要理解三角形角平分线的含义，探索并证明三角形、多边形的内角和。笔者在现行华东师大版七年级数学下册第九章“三角形”的教学中，发现教材、教辅无不涉及“已知三角形的一个内角，求另两个内角角平分线夹角”的问题。

如图1所示，在△ABC中，∠A=α，点O是∠ABC与∠ACB的平分线BF和CE的交点，求∠BOC.

解∵BF和CE分别是∠ABC与∠ACB的平分线，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB.

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠α）=90°-∠α.

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-∠α）=90°+∠α.

该题是在已知三角形一个内角的情况下，求出了另两个内角平分线的夹角。我们逐步引导学生将求两内角平分线的夹角改为一内一外角或两外角角平分线的夹角；或将三角形改为多边形的情况作了深入探究，发现了其中的规律，激发了学生的学习兴趣，在教学中收到了较好的效果。现介绍如下，仅供同仁们参考。

二、问题的探究

1.将内角平分线改为外角平分线

情形一：求三角形的一条内角平分线与一条外角平分线的夹角

如图2，在△ABC中，∠A=α，点O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，求∠BOC.

解∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACD的平分线，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD.

∵2∠OCD=2∠OBC+∠α，

∴2（∠OCD-∠OBC）=∠α.

又∵∠BOC=∠OCD-∠OBC，即2∠BOC=∠α.

∴∠BOC=∠α.

情形二：求三角形的两条外角平分线的夹角

如图3，在△ABC中，∠A=α，点O是三角形两外角∠DBC与∠ECB的平分线BO和CO的交点，求∠BOC.

解∵BO和CO分别是∠DBC与∠ECB的平分线，

∴∠OBC=∠DBC，∠OCB=∠ECB

∵2（∠OBC+∠OCB）=360°-（180°-∠α），

又∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），

∴2（180°-∠BOC）=180°+∠α，

∴2∠BOC=180°-∠α.∴∠BOC=90°-∠α.

2.将三角形改为多边形

（1）四边形的情形

情形一：如图4，在四边形ABCD中，点O是两内角∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，证明：∠BOC=（∠A+∠D）.

证明∵BO和CO分别是∠ABC与∠DCB的角平分线，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠DCB.

∴2（∠OBC+∠OCB）=360°-（∠A+∠D）.

∴2（180°-∠BOC）=360°-（∠A+∠D），

∴360°-2∠BOC=360°-（∠A+∠D），∴∠BOC=（∠A+∠D）

情形二：如图5，在四边形ABCD中，点O是内角∠ABC与外角∠DCE平分线BO和CO的交点，证明：∠BOC=（∠A+∠D）-90°.

证明∵BO和CO分别是∠ABC与∠DCE的角平分线，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠DCE.

180°-∠DCE+2∠OBC=360°-（∠A+∠D）

180°-2（∠OCE-∠OBC）=360°-（∠A+∠D），

又∵∠OCE-∠OBC=∠BOC.

∴180°-2∠BOC=360°-（∠A+∠D），即2∠BOC=（∠A+∠D）-180°，

∴∠BOC=（∠A+∠D）-90°.

情形三：如图……