廖俊俊， 吴 洁

(华中科技大学数学与统计学院，武汉430074)



关于凸性的一些探讨

廖俊俊， 吴 洁

(华中科技大学数学与统计学院，武汉430074)

现行的不少教材在叙述凸函数定义时，通常都假设函数是连续的.本文以没有连续为前提的一元凸函数的定义为基础，探讨了函数的连续性，左右导数的存在性，凸函数在区间端点的形态，最后利用左右导数，给出了判定函数为凸的一个充要条件.

连续性； 凸函数； 左导数； 右导数

1 引 言

在第二届全国大学生数学竞赛(数学类，预赛)中有如下试题：

注 函数f(x,y)是凸函数的定义是∀α∈(0,1)以及(x1,y1),(x2y2)∈D，成立

f(αx1+(1-α)x2,αy1+(1-α)y2)≤αf(x1,y1)+(1-α)f(x2,y2).

答案是肯定的.需要说明的是，这里所说的凸函数(convex function)，在现行的有些教材中称为下凸函数.

上述试题引起了我们的思考，原因是现行的不少教材在叙述凸函数的定义时，通常都假设函数是连续的[1-4]，即便有的教材叙述凸函数的定义时没有连续这一条件[5-7]，也并没有以此为基础讨论函数的分析性质.最近的文[8]，也仅讨论了凸函数单侧导数的连续性.本文以没有连续为前提的一元凸函数定义为基础，探讨了函数的连续性，左右导数的存在性，凸函数在区间端点的形态，最后利用左右导数，给出判别凸函数的一个充要条件.

2 凸函数的定义及连续性

定义1[7]设函数f在闭区间[a,b]上有定义，若∀α∈(0,1)以及∀x1,x2∈[a,b]，成立

f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2) ,

(1)

则称函数f在[a,b]上是凸函数.

式(1)等价于对任意的a≤x1

(2)

也等价于

(3)

在几何上等价于任意两点(x1,f(x1))和(x2,f(x2))之间的弧位于这两点连线的下方.

若将[a,b]换成(a,b)，则得到相应的开……