山东省枣庄学院 孙 瑞

几类求解变系数微分方程的方法

山东省枣庄学院 孙 瑞

本文主要是将二阶变系数线性微分方程的常系数化解法，推广到三阶变系数线性微分方程的解法，并将这些方法应用到高阶变系数线性微分方程的解法中，从而能够解决实际应用中的一些问题。

变系数微分方程；常系数化法；变量代换；降阶法

在一般的系数激励振动、波导传输理论以及其他实际应用问题中，常会遇到一些高阶变系数微分方程，如，它们的求解没有一般的方法。本文是通过二阶变系数线性微分方程的常系数化解法，推广到三阶变系数线性微分方程，并在求解高阶变系数线性微分方程过程中应用这些方法，进而得到求解的一般方法，从而解决实际应用中的一些问题。

（2）式即为常系数微分方程，未知函数是自变量为t的函数当方程（1）中无x的项，即，令，则可化为一阶微分方程，该方程为变量分离方程，亦可求解。这里主要采用自变量代换，将欧拉方程化为常系数线性微分方程。

下面分别用自变量代换、因变量代换、降阶法进行求解。

1.自变量代换

对二阶变系数线性微分方程

可以用变量代换的方法求解。

由定理1得如下推论：

推论1：三阶变系数线性微分方程：

当满足

解：依据推论1，满足如下条件：

推论2：对于高阶变系数线性微分方程

2.因变量代换

3.降阶法

推论5：设方程（4）对应的齐次方程

例4 将三阶变系数线性微分方程

综上所述，自变量代换和因变量代换的计算较为简单，所以这种求解方法适用于所有类型的变系数微分方程，并且不同的代换方法得到的方程也不同。……