滕兴虎，赵颖，陈桂东，寇冰煜

（解放军理工大学 理学院，江苏 南京 211101）

离散型随机变量数学期望的教学设计与实践

滕兴虎，赵颖，陈桂东，寇冰煜

（解放军理工大学 理学院，江苏 南京 211101）

教学实践中，根据真实案例引入离散型随机变量数学期望，通过对离散型数学期望概念的讨论，促进学生对数学期望内涵的理解.改造传统例题，利用数学软件解决期望问题，有力的培养学生的建模意识、数学软件应用能力等综合素质，取得了较好的教学效果.

案例式教学；离散型随机变量；数学期望；绝对收敛

数学期望是随机变量的一个重要的数字特征，不但在概率论与数理统计的理论上占有重要地位，在实际生活中也有广泛的应用.因此，在授课时需要深入的剖析数学期望的内涵，引导学生如何应用期望理论解决问题.在通常的授课过程或教材中，往往是由简单的离散型随机变量实例直接给出数学期望的定义.这样的方式比较单调枯燥，容易造成学生对期望的理解是“形”上的，不够深入.从多年的教学实践发现，通过具体真实的案例出发，多次引导学生讨论，能够促使学生从讨论中理解期望的内涵.同时将教材中的例题进行设计改造，也有助于培养学生的建模意识与综合素质.实践表明，这一教学方式取得较好的教学效果，有效、全方面地培养了学生的数学素养.

1 引入真实案例，激发学习兴趣

一般的，真实的案例比构造的案例更具有吸引力.离散型随机变量数学期望的教学，可以奥运会中的真实情况作为切入点.

马修·埃蒙斯是一位美国射击运动名将.埃蒙斯以成功的少年运动员身份起步，创下50 m运动步枪三姿射击比赛少年世界纪录，并在2002年和2004年国际射击运动联合会世界杯决赛中获胜.在2002年ISSF冠军赛和2004年雅典奥运会射击比赛中他获得50 m运动步枪俯卧冠军.然而2004年雅典奥运会运动步枪三姿射击比赛中，埃蒙斯的最后一枪脱靶，打了零环，将金牌拱手让给了中国选手高占波.在为中国队又添一枚金牌深感幸运之余，引导学生思考：这次比赛成绩是否是马修·埃蒙斯的真实成绩的体现，什么才是射击天才马修·埃蒙斯的真实水平.

奥运史上这样的事实，可以最大程度地激发学生的学习兴趣，引发思考与讨论.

2 推动深入研讨，得出准确定义

2.1 分析案例，引出随机变量取值有限时的数学期望

由式（1）可知，期望是随机变量取值的一个加权平均，它是一个数值，不再是一个随机变量.

2.2 深入探讨，得到随机变量取值可列无限时的数学期望

式（1）中对应的是随机变量取值有限时的数学期望.随机变量的取值除了有限个，还可以取可列无限多个.这时随机变量的期望如何定义，是否只需要将式（1）中的n改为无穷即可，引发学生的再一次思考.

若将式（1）中的n改为无穷，则涉及到无穷级数，但无穷级数未必收敛.因此，要保证期望存在，至少需要加一个条件，即要求级数收敛.

此时，引发学生第3次思考，即仅有收敛性不能满足期望的定义，应该如何改进.

由定义2可知，随机变量取值可列无限时，取值如果非负，则无需考虑绝对收敛性，否则，需要讨论式（2）的绝对收敛性.

通过问题的逐层剖析，可促进学生对离散型随机变量数学期望概念的深入理解，进而能够在离散化的基础上理解连续型随机变量的数学期望.

3 转化常见问题，培养建模意识

对于常见的随机变量的数学期望，教材中往往是直接由分布求期望例题［2-4］.在具体授课时，可以根据需要进行改造.

例1 某玩具店中每天卖出的某型玩具车的数量服从泊松分布，平均每天卖出2个.试问他们每天应准备几个此款玩具车才可保证以98%的可能性不缺货.

此处售出的玩具车个数服从泊松分布，如果设每次卖出的个数为X，泊松分布的参数为λ，则X服从泊松p(λ).要确定准备几个才能保证以98%的可能性不缺货，则需搞清楚分布情况.而要清楚分布情况，则需求出参数λ.问题转化为求泊松p(λ)的期望E( X)，进而由方程E( X)=2求出参数λ.

实践表明，如此将文献［2-4］中关于泊松分布期望的例题进行改造转化，可以有效地培养学生的建模意识，锻炼学生分析问题和解决问题的数学能力.

4 运用数学软件，培养综合素质

数学期望的求解有多种方法［5-7］，在某些涉及大量随机变量取值的数学期望时，可以采用数学软件辅助求解，以节约时间，提高效率.

例2 体检时为普查某种疾病，n个人需验血，现有如下验血方案：将k个人一组进行分组，同组k个人的部分血样混在一起化验.

若结果为阴性，则说明k个人的血液都呈阴性，此k个人都无此疾病，这k个人只需化验1次；若混合血样为阳性，则说明k个人中至少一人的血样呈阳性反应，应对k个人的剩余血样逐个化验，找出有病者，此时k个人的血需化验k+1次.设该疾病的带病率为0.1，且得此病相互独立.试问：（1）分组验血方案能否减少工作量；（2）如果能减少工作量，如何分组可以最大程度减少工作量.

在Maple2015数学软件中运行命令：

此外，还可以在Maple2015数学软件中运行命令：

得到E( X)关于变量k的函数图形（见图1）.由图1可以看出，当0＜k＜10时，E( X)取得最小值，在k＞35时，，如此分组不但没有减少工作量，反而增加了工作量.每组4人为最佳分组人数.

图1 E( X)关于k的函数图形

根据期望的定义，结合数学软件求解某些问题的期望，不但可以提高解决问题的效率，一定程度上也可以培养学生的综合素质.

5 结语

在多年的教学实践中，通过真正有趣的实例引入、抽丝剥茧的深入分析、恰当合理的例题改造及适当的运用数学软件，一方面可以摆脱传统教材与教学中单调、枯燥的教学方式，另一方面可以引起学生的高度兴趣，培养学生的抽象能力、建模能力和软件能力，全方位培养学生的综合素质，达到较好的教学效果.

［1］ 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计［M］.4版.北京：高等教育出版社，2008：90-100

［2］ 茆诗松，周纪芗.概率论与数理统计［M］.2版.北京：中国统计出版社，2000：48-94

［3］ 杨永发.概率论与数理统计教程［M］.天津：南开大学出版社，2000：130-137

［4］ 王松桂，程维虎，高旅端.概率论与数理统计［M］.北京：科学出版社，2000：100-110

［5］ 唐秋晶，蒋传凤.数学期望的几种求法［J］.洛阳师范学院学报，2000，19（5）：13-14

［6］ 肖文华.数学期望的计算方法与技巧［J］.湖南工业大学学报，2008，22（3）：98-100

［7］ 覃光莲.数学期望的计算方法探讨［J］.高等理科教育，2006，69（5）：41-45

Teaching design and practice of discrete random variable mathematics expectation

TENG Xing-hu，ZHAO Ying，CHEN Gui-dong，KOU Bing-yu
（Institute of Science，PLA University of Science and Technology，Nanjing 211101，China）

By introducing a true example，the concept of the discrete random variable mathematical expectation is discussed，and it help the students to understand the concept.By transforming a traditional example and solving a problem using mathematics software，the comprehensive qualities of student are developed powerfully.Also，better teaching effect is achieved in the teaching practice.

case teaching；discrete random variable；mathematical expectation；absolute convergence

O211.9∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.06.022

1007-9831（2016）06-0071-04

2016-01-01

解放军理工大学教学改革现实课题（JW1514）

滕兴虎（1975-），男，江苏邳州人，讲师，硕士，从事数学教育与非线性动力学研究.E-mail：liuqian@xidian.edu.cn