任睿超，孙洁

（西北大学现代学院 基础部，陕西 西安 710130）

多滞量Lotka-Volterra竞争捕食系统的正周期解

任睿超，孙洁

（西北大学现代学院 基础部，陕西 西安 710130）

运用Mawhin重合度定理和积分不等式构造了有界开集，讨论了一类带任意多时滞的3种群非自治Lotka-Volterra竞争捕食系统，给出了正周期解存在的充分条件，在系数满足一定的条件时得到了周期振荡的结论．

Lotka-Volterra竞争系统；正周期解；Mawhin重合度定理

1 引言及预备知识

近年来，在多时滞非线性生物种群模型中，对于具有任意有限个滞量的研究正逐渐成为学者们关注的问题[1-8]．文献[1]运用重合度定理讨论了一类带有多滞量的Lotka-Volterra3种群互惠系统的正周期解，本文在此基础上继续讨论3种群非自治Lotka-Volterra竞争捕食系统

的正周期解，其中：x（ t）表示食饵种群密度；y1（ t）和y2（ t）表示2个竞争捕食种群密度；r（ t）为食饵的出生率；r1（ t）为捕食种群1的出生率，且d（ t）为捕食种群2的自然死亡率（假设捕食种群2仅依赖于捕获食饵

2 主要结果及证明

定理1 若系统（1）满足条件：

则系统（1）必至少存在一个正ω周期解，其中：

同理，根据比较原理，有

再由式（9）和积分不等式，得

[1] 赵宏伟．带有多滞量的Lotka-Volterra三种群互惠系统的周期解[J]．吉林大学学报：理学版，2011，49（6）：1034-1038

[2] 赵明，程荣福．一类具生物控制和比率型功能反应的食物链系统周期解的存在性[J]．吉林大学学报：理学版，2009，47（4）：730-736

[3] 赵宏伟，王永曦，王锐．具有阶段结构和比率依赖的三种群混合模型的周期解[J]．东北师大学报：自然科学版，2009，41（4）：27-31

[4] 王欣欣．具双密制约和Non-monotonic型功能反应的捕食系统的周期性与全局稳定性[J]．东北师大学报：自然科学版，2009，41（1）：17-22

[5] Yang Fan，Jiang Daqing．Existence of Periodic Solutions of Multidelays Facultative Mutualism System[J]．Chinese Journal of Engineering Mathematics，2002，19（3）：64-68

[6] Chen Fengde，Shi Jinjin，Chen Xiaoxing，et al．Periodicity in Lotka-Volterra Facultative Mutualism System with several delays[J]．Chinese Journal of Engineering Mathematics，2004，21（3）：403-409

[7] 程荣福，常亮．具无限时滞和非单调功能性反应捕食系统的多周期解[J]．吉林大学学报：理学版，2010，48（5）：761-765

[8] Gaines R E，Mawhin J L．Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations[M]．Berlin：Springer-Verlay，1977

Positive periodic solutions of Lotka-Volterra competitive predator prey system with multiple delays

REN Rui-chao，SUN Jie
（Department of Basic Course，Xi'an Modern College of Northwest University，Xi'an 710130，China）

Mawhin's continuation theorem of coincidence degree and integral inequality were used to construct a bounded open sets，and the non autonomous Lotka Volterra predator-prey system of three species with arbitrary time delay was discussed by giving a sufficient condition for the existence of the positive periodic solutions in that if the coefficients satisfied certain conditions，periodic oscillation has been obtained．

Lotka-Volterra competitive system；positive periodic solution；Mawhin coincidence degree theorem

O175.12

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.06.001

1007-9831（2016）06-0001-05

2016-04-01

2014陕西省教育厅专项科研计划项目（14JK2146）

任睿超（1985-），男，陕西西安人，讲师，硕士，从事微分方程与动力系统研究．E-mail：rrc8512@163.com