赵爽

（黑龙江工程学院 数学系，黑龙江 哈尔滨 150001）

应用型人才培养中数学建模课程教学改革
——以黑龙江工程学院为例

赵爽

（黑龙江工程学院 数学系，黑龙江 哈尔滨 150001）

针对应用型院校数学建模课程教学中存在的诸如教学方式单一化、学生数学应用能力差等问题，从改革教学内容、教学方式和更新成绩评定机制等方面对课程改革方案进行探讨与实践，以期达到培养本科应用型人才的目的.

数学建模；应用型人才培养；教学改革

伴随着当今高科技的飞速发展和应用型本科高校转型发展，高等教育知识的传授应从单独学科性的、以知识本身为目的方式逐渐转向以跨学科性的、以知识应用为目的方式［1］.数学教育作为大学教育的基础，不仅要注重培养学生良好的数学理论基础，更重要的是培养学生数学知识的学习能力、综合运用能力以及创新思维.数学建模课程正是这样一门“综合”课程［2］.

黑龙江工程学院作为新建特色应用型本科高校，以培养应用型创新人才为根本立足点，学校的教育观念、教育方式以及评价方式等亟须更新，实践教学环节也亟须加强［3］.数学建模课程是信息与计算科学专业的一门核心基础课程，它在培养学生的综合科学素质、应用力和创造力等方面的独特作用，是其他数学课程所无法取代的.因此，基于高校应用型人才培养的数学建模课程教学体系改革具有十分重要的意义.本文针对实际教学情况，对数学建模课程教学改革与实践进行初步探索，以便为应用型人才培养提供借鉴.

1 数学建模课程教学现状分析

黑龙江工程学院信息与计算科学本科专业是2005年数学系开设的，该专业以培养应用型人才为发展方向，积极开展创新型产学合作理科应用型人才培养模式，其办学目标为培养具有一定数学基础，掌握计算科学和信息科学的基本理论和基本方法，能够运用所学的数学知识以及计算机科学技术解决实际应用问题，能够在教育、经济和软件开发等相关领域从事教学、科研、应用开发和管理工作的复合型专门人才.数学建模课程是信息与计算科学本科专业的专业必修基础课程，也是该专业的核心课程之一.大学数学建模课程向应用型人才培养转变所面临主要问题是：

1.1 涉及数学基础知识多

数学建模课程难度较大，建模问题形式灵活，涉及的数学类课程包括数学分析、概率论、高等代数、空间解析几何、数值分析、运筹学、常微分方程以及离散数学等.相比于其他课程，所涉及的数学基础知识是比较多的，对学生而言，学好数学建模课具有较大的挑战性.

1.2 建模问题与实际联系广泛

数学建模就其教学内容来说，虽然与数学知识相联紧密，但是不具有一般数学课程严谨的逻辑性.通过数学模型的建立，数学建模既能解决生态环境、地理科学、人口控制及交通调度等方面的问题，也能解决医保问题、经济增长和金融投资等方面的研究类问题.故而，可以说数学建模是一门提升学生综合素质，检验学生运用知识能力的学科.数学建模就其教学角度来说，任课教师不仅要熟悉数学各个领域的知识，还要掌握一定的非数学专业类知识和背景，并且将它们进行有机结合，这对缺乏实践应用能力的青年教师而言是一个相当大的挑战.

1.3 教学模式单一化

建模课程教学应该遵循着“学生为主，教师为辅；注重实践，略讲理论”的原则.教学手段应该是将传统黑板讲授、多媒体课件及软件应用进行有机结合，考核方式及评价标准也应明显区别于传统数学类课，如学生研讨形成报告、答辩和结课论文等.

当前我校数学建模课程在教学手段、考核方式和结课评价标准等方面距离培养目标仍有一定优化空间.

2 应用型院校数学建模课程教学内容的改革

由于缺乏课程教学的实践应用能力，以往课程教学中过于注重知识的传授以及复杂数学理论过程的推导，而忽视了如何培养学生使之拥有有效思维能力和应用所学数学理论解决实际问题的能力.因此，在数学建模教学内容上应对数学建模课程的教学内容进行优化改革.

2.1 突出专业基础课

数学建模涉及许多领域和数学分支，对于应用型本科院校数学专业学生来说，熟悉掌握的数学专业基础课主要有数学分析、高等代数、概率论与数理统计及常微分方程，而数学建模课程可以将这些枯燥的数学理论知识转化为实际应用能力.因此，数学建模课程选取建模案例应该突出专业基础课程，如初等优化模型、代数模型、统计回归模型和微分方程模型等.

例1（餐桌问题）［4］在一不平的地面上，一张餐桌能否放稳，即餐桌的4只脚同时落地.

此问题源于人们的日常生活，依据生活经验所知，只需将餐桌挪动几次即可使其放稳，这貌似与数学无关的问题又如何求解呢.

首先，在讲解该模型案例时，应引导学生如何从题目入手，寻找解决问题的方法.通过分析可知，题目当中包含3个信息：1张餐桌、不平地面、4只脚同时落地.其次，引导学生依据3个信息点作如下3个假设：（a）餐桌的4个桌腿一样长，4个桌脚的连线视为正方形；（b）将地面看作连续曲面；（c）地面不会出现深沟，相对平坦，可使餐桌在任何位置总有3个脚着地.再次，从假设出发设出必要的变量，为模型建立提供方便.就该题而言，应先画出餐桌的旋转示意图（见图1）.由图1可以看出，利用正方形的对称性，以正方形中心为平面直角坐标系的原点，当餐桌绕中心旋转时，桌子的位置也随之改变，此时可以将桌子位置通过转动角度来表示，记为 ，同时桌脚与地面的距离随着转过角度 的变化也在变化，可设f( )为A, C2脚与地面的距离和，g( )为B, D2脚与地面的距离和.由假设（b）可知，f( )，g( )皆可以看作连续函数.由假设（c）可知，餐桌在任何位置总有3个脚着地，转化为数学语言，即对于任意，有.

图1 餐桌旋转示意图

最后，利用零点定理证明：在一不平的地面上，该餐桌只要转过角度介于0与之间便可放稳.此时，为了使学生更好地掌握该模型建立的关键是旋转角度 与距离，可将原题中的假设（a）改为餐桌的4个桌腿一样长，4个桌脚的连线视为长方形，考虑是否能得到与正方形餐桌同样结论.

2.2 模型案例选材突出关注社会热点、贴近生活

数学建模课程教学内容设置应以应用型人才培养目标、信息与计算科学专业课程的知识结构特点、学生知识储备为主要参考.课程的教学内容分为初等优化模型、微分方程模型、代数模型、统计回归模型、数学规划模型、差分方程模型和灰色预测模型等七大模型.对每个模型中的案例选取遵循关注社会热点和贴近生活的原则.

例2（传染病控制模型）［5-6］随着国家经济的飞速发展，医疗条件得到很大改善，以往一些严重的传染病已经得到了有效控制，但是一些如传染型非典型肺炎、埃博拉病毒等新型传染病不断出现.因此，通过掌握传染病的传播途径和传播过程，分析传染病感染人数的变化规律，预测传染病高峰到来的时刻，进而找寻预防传染病蔓延的方法，可以根据通过饮食和空气等传播的流感病毒传播原理建立传染病控制模型.

通过问题背景可知，该题目是与社会热点问题有关，引导学生注意关键部分即通过饮食和空气等传播的流感病毒，这属于最普遍的病毒传播方式，具有传染面积大，传染周期短，痊愈的人也可以再次复发患病等特点.模型相对复杂，依据传播机理，这里将该传染病控制模型分3个模型，分别是I模型、SI模型和ISI模型.SI模型是在I模型的基础上优化的模型，ISI模型也是考虑到SI模型的局限型建立的模型.

首先，I模型只考虑最简单的情况，其模型假设单位时间内一个携带流感病毒的病人感染的人数为 ，得到模型

显然，模型（1）是可分离变量的微分方程，属于微分方程模型，求解得.

模型建立及求解.由假设可知

通过观察方程（2）可知，单位时间内携带流感病毒的病人增量和2个部分有关，一个是随着携带流感病毒的病人x( t)的增加而增加，另一个是随着x( t)而减少，看似矛盾，实际上是由于环境的限制该地区人数达到饱和的数量看作定值，倘若患病人数增加，相应地未患病人减少了.该模型恰好符合logistic模型.

3 应用型院校数学建模课程教学模式及成绩评价机制的改革

3.1 教学模式的改革

在传统的数学建模课堂上，所有教学内容皆是以教材为中心，教学思路丝毫也不偏离教材.教师认为只要把建模教材内容讲授给学生就算完成了教学任务，给学生安排的作业大多是书后题目，许多学生只抄袭其他学生答案，以应付教师的检查.针对这些情况，对数学专业的数学建模课程教学模式和方法进行了改革，进而推广到全校数学建模公选课.改革的主要目标是提升数学建模课堂的教学效果，同时体现了学生学习建模的主动性.优化课程的教学模式应根据课程内容特点和学生个体差异性，将采用案例引导教学模式、组队研讨式教学模式和实践教学模式有机结合起来.

3.1.1 采用案例引导教学模式 对于一些相对简单的模型，可以先由教师通过实际案例诱发学生的好奇心，进而引导出实际问题，促使学生思考和讨论.在教师的引导下，学生寻求模型求解方法，可以令学生体验创造过程的美好.

3.1.2 组队研讨式教学模式 此类研讨式教学模式是德国应用本科院校经常采用的教学模式之一.为达到较好的教学效果，教学模式对学生人数有限制，原则上是不超过30人.以信息与计算科学专业2014-1班为例进行说明，班级人数是28人，分成7组，每组4人，以学号先后顺序依次组队，可以根据学生的个人意愿，每队组员进行适当微调.任课教师在上课的前1周准备一个开放性建模题目，如依据实际情况研究近年来我国城市的汽车拥有量发展变化规律等问题，模型问题并未具体指出是哪个城市和时间段长等要素，每个组可以利用1周时间自行查阅资料，选择适合区域，研究其汽车拥有量的变化规律，形成论文，报告课上进行演讲和讨论.为了避免某些组员懒散，只是依靠组内其他同学，增强队员的参与性，当组内某个成员讲解报告时，其他组同学和教师均可就报告内容向该组未作报告的其他组员提出质疑，相互讨论.经过几次尝试，获得一定成效，平时不学习的学生参与性明显提高.

3.1.3 实践性教学模式 为了巩固数学建模专业训练和培养应用型本科院校的复合人才，应加强建模课程实践性教学环节.理论教学中，许多数学模型的求解皆离不开数学软件，常见的数学软件包括MATLAB软件、LINGO软件和LINDO软件等.其中MATLAB软件是目前国内外最流行的数学科学软件，以其清晰的图形可视化，强大的面对不同领域工具箱、数据分析以及使用便利等功能为人们熟知.而LINGO软件和LINDO软件属于优化软件，LINGO擅长求解非线性规划模型，LINDO善于求解线性规划模型.每类软件都有自己优越性和局限性，软件使用的范围不同.

3.2 成绩评价机制的改革

优化成绩评价机制是提升学生参与数学建模课程的必要手段，而以往课程结课成绩评价机制只是单纯地考虑平时表现（占20%）、作业情况（占20%）和结课论文（占60%）进行成绩给定，并未考虑学生的参与性问题，致使结课成绩无法全面反映学生的学习状态.因此，引入数学建模的评价机制，主要包括课内案例分析情况、组队研讨会论文报告和借助数学软件求解情况等.新形成的成绩评价机制极大地提升了学生的课程参与度.

总之，在应用型院校数学建模课程教学中，应以学生参与为主，教师教学为辅；教学实践活动为主，建模理论为辅，深入开展应用型院校数学建模课程教学的改革与实践.通过对教学内容、教学模式及教学成绩评价机制的改革实践，学生将学习数学建模当作是自己的事，在学习能动性、参与度和团队合作方面皆有一定提高，以培养应用能力和创新能力人才为目标的课程改革取得了一些成效.

［1］ 蒋洪池.高等教育市场化及其对大学学科文化的影响［J］.江苏高教，2010（4）：72-74

［2］ 姜志侠.深化教育改革 搞好数学建模［J］.长春理工大学学报，2004（3）：79-82

［3］ 刘丽梅，张应良.建设应用型课程 实现新建本科院校转型［J］.河北大学学报，2014（9）：72-73

［4］ 沈继红.数学建模［M］.北京：清华大学出版社，2011：8

［5］ 姜启源.数学模型［M］.4版.北京：高等教育出版社，2011：136-14

［6］ 陈水恩.数学模型与实验［M］.北京：科学出版社，2009：102-110

The teaching reform of mathematical modeling course based on the application oriented talent cultivation——Taking Heilongjiang Institute of Technology for example

ZHAO Shuang
（Department of Mathematics，Heilongjiang Institute of Technology，Harbin 150001，China）

In view of the current problems such as single teaching methods，the poor student's ability to apply mathematics in application-oriented universities，the overall reform plan is explored and practiced to train applied talents by the introduction of reform teaching contents，using flexible teaching mode and the new achievement evaluation mechanism.

mathematical modeling；application oriented talent cultivation；teaching reform

O29∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.06.021

1007-9831（2016）06-0067-05

2016-03-10

赵爽（1984-），女，黑龙江哈尔滨人，讲师，在读博士生，从事系统分析与建模研究.E-mail：154366754@qq.com