罗宏超，鞠丽平

(沈阳航空航天大学 理学院，辽宁 沈阳 110136)



微分几何法求解单位矢量的空间导数

罗宏超，鞠丽平

(沈阳航空航天大学 理学院，辽宁 沈阳 110136)

利用微分几何与矢量极限的方法及坐标系间的关联推导了常见曲线坐标系中单位矢量的空间导数.推导过程简洁直观，便于理解，方便在物理教学及实践中运用.

单位矢量； 微分几何； 曲线坐标； 空间导数

在理论物理及其工程应用中经常需要计算矢量的导数，曲线坐标系中由于单位矢量的方向变化，需附加单位矢量的空间导数或时间导数[1,2]，一般采用正交曲线坐标系进行求解[3-6]，过程严谨，通用性好，但需要一定的数学基础，求解方法比较抽象.

利用微分几何的方法[7,8]，考虑极坐标与柱坐标和球坐标的关联，可以直观形象地求解常用曲线坐标系下单位矢量的导数问题，对于正确理解矢量的偏导数及偏微分方程有重要意义.

1 极坐标系下单位矢量的空间导数

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

图1 极坐标系下单位矢量的变化

|Δer|≈|er|Δθ= Δθ

(2a)

|Δeθ|≈|eθ|Δθ= Δθ

(2b)

图2 Δθ→0时Δer和Δeθ方向的判断

将(2a)、(2b)分别代入(1b)、(1d)，取极限Δθ→0得到：

(3a)

(3b)

(4a)

(4b)

将上述方程整理后得到极坐标系下单位矢量的空间导数为：

(5a)

(5b)

2 柱坐标系下单位矢量的空间导数

柱坐标系是在xy面的极坐标系(ρ，φ)基础上增加了与之垂直的z轴坐标，如图3所示.根据第1节关于极坐标单位矢量的偏导数的计算，可以首先确定由坐标(ρ，φ)构成的极坐标系下的单位矢量偏导数：

图3 柱坐标系及其单位矢量

(6)

因为z坐标方向固定，其单位矢量ez为常矢量……