☉湖北省沙市中学 夏旭凡

一道习题的思考

☉湖北省沙市中学 夏旭凡

已知圆的方程x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程.（此题是《高中数学解题题典》第二章第二节圆第29题，P1033）

解（略）：切线方程为xx0+yy0=r2.

此切线方程简洁明了，体现了数学美，此时也许我们会想到当点M（x0，y0）在圆x2+y2=r2内部，外部时xx0+yy0= r2有什么几何意义呢？这样的几何意义在椭圆、双曲线、抛物线上同样适用吗？

对于圆：

（一）已知圆的方程x2+y2=r2，平面内非原点的点M（x0，y0），直线方程l为xx0+yy0=r2.求证：原点到M的距离为a，圆的半径r，原点到直线xx0+yy0=r2的距离b成等比数列且OM⊥l.

（二）已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2内一点，则直线xx0+ yy0=r2与圆x2+y2=r2相离.

（三）已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2外一点，过点M作圆的切线交圆x2+y2=r2于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则直线AB的方程为xx0+yy0=r2.

如图1，原点为O，设直线OM与AB交于点N，显然，△OAM为直角三角形，AN为斜边上的高.

r2=OA2=OM·ON且OM⊥AB.

由上面的结论（一）得直线AB的方程为xx0+yy0=r2.

图1

（一）当点M在椭圆内时，直线l与椭圆相离；

（二）当点M在椭圆上时，直线l与椭圆相切；

证明（一）：构造新坐标系

新坐标系下的方程为圆C：x′2+y′2=1，点M（x0，y）0在新坐则椭圆在标系下为圆C上的点）.根据推论一直线=1与圆x′2+y′2=1相离.

同理可以证明（二），（三）.

对于双曲线：已知点M（x0，y0）在双曲线=1上，则直线l与双曲线相切.

即直线MN得斜率与渐近线的斜率相等，与双曲线几何性质矛盾.

对于抛物线：已知点M（x0，y0）在抛物线y2=2px上，则y0y=p（x+x0）是抛物线y2=2px的切线.

设：直线与抛物线y2=2px有两个不同公共点M（x0，y0），N（x1，y1），则

点M，N重合，与假设矛盾.

所以y0y=p（x+x0）是抛物线y2=2px的切线.

当点在双曲线两支之间和点在抛物线外时有类似性质，读者可以用类似方法研究.Z