☉浙江省温州市第二高级中学 林荣

☉新疆阿克苏拜城县教育局教研室唐胜忠

让学生积极有序有效互动
——“平面向量数量积复习课”教学实录与感悟

☉浙江省温州市第二高级中学 林荣

☉新疆阿克苏拜城县教育局教研室唐胜忠

本复习课是一节交流研讨公开课，是在高一学生刚学了平面向量这一章节知识后所做的归纳总结.本节课定位于平面向量数量积的运算，通过前期的学习，学生已经对平面向量的知识有了较为全面的认识和了解，对几何问题代数化有初步的认识.此时若能根据学生的知识基础和能力基础设计适当的复习课引导学生在教材的基础上作进一步的探究学习，对训练学生的思维与探究能力将有很大的帮助.本着“学生参与，积极互动”的教学理念，笔者采用了以“问题变式引导、师生对话交流”为主线的教学模式，通过组织师生互动，较好地完成了教学任务.现将本节课向大家汇报，并谈谈笔者的感悟与反思，与大家交流.

一、图形引入，概念复习

师：今天老师先画一个图形给大家（图1）（教师在黑板上画出一个直角三角形），现在请大家算一算数量积

图1

（出示问题1，以便应用.）

问题1：如图1，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，求—的值.

师：这道题目已经知道AB的长度，所以我们很快可以知道数量积等于9.（学生呼应）

师：老师现在保持角A的度数（直角）不变，拖动点C（在几何画板中拖动点C，使点C在AC延长线方向上托动），这时方向上的投影有没有发生改变？

生（部分）：投影没有发生改变.

师：是的，投影没有改变，因此—的数量积就是模的平方.（这里笔者想让学生从动态上更加深刻地认识到数量积的几何意义，因此特意着重强调）

师：好，老师刚才是把C点往下拖，如果现在把C点往右拖（沿BC延长线方向），你们再来试试看该如何求？（出示问题2）

二、简单变式，一题多解

图2

全班同学开始安静思考，教师提示学生可以主动到黑板上写出解题过程.过了一会儿，生2主动到黑板上写下他的解题过程.

师：你来说说看，你刚才是怎么想的？

师：还有没有别的方法吗？（笔者是想尝试让学生用数量积的几何意义，直接用投影的方法解决此问题）

生3直接到黑板写下自己的板书.而方法却不是直接用数量积的几何意义.

师：你给大家讲讲你的想法吧.

生3：我想到了老师有一次上课时讲过这样的一种计算方法，就是在三角形中，两边向量的数量积可以用中线长的平方减去第三边一半的平方，这里正好有一个直角三角形，就可以利用勾股定理转化到边BA上了.

师：很好，说明这位同学能深入思考，很好地利用了转化思想，其实他用的就是我们以前说过的极化恒等式，我们为他鼓鼓掌.（众生鼓掌）

师：还有别的方法吗？

生4：建系，他们都用基底，我想用建系的方法.生4在黑板上重新画了一个图，把原来的图形倒了过来，如图3.

生4：以A为坐标原点，AB，AC分别为x轴，y轴建立直角坐标系，这样点的坐标就是B（3，0），C（0，b），E（-3，2b），因此

图3

（众学生又同时响起了掌声）

师：所以生4也看到了直角在这里，他把这个三角形倒过来，这样建系就非常的容易.所以我们在求数量积的时候可以用定义法，也可以用建系的方法，因为用坐标法解决几何问题就好比给人力三轮车装了发动机一样，轻快省力.

（此时笔者在课前预想让学生直接用数量积的几何意义的方法还是没有同学提出来.由于讲得过于兴奋，竟然忘了想讲的这种方法，而直接去探究下一内容）

师：刚才老师拖动的是C点，大家觉得还可以拖动哪一点？

生：还可以沿AB方向拖动B点.

师：嗯，可以，但拖动B点，这个直角还是在的.（此时笔者故作玄乎）老师想拖个非直角的出来.

生：那可以拖动A点.

师：好的，那就拖动A点.（在图2中拖动点A后笔者又给出来了问题3）

三、由锐变钝，强调运算

师：大家再来试试看.

图4

（过了一会儿，笔者请一位同学上讲台板演）

师：好，刚才生5还有点不敢上来，在老师的鼓励之下，她勇敢地上来了.（众学生咪笑）那现在想问问她的想法.

师：嗯，那你是想用基底转化，你选的基底到底是哪两个？

生5：因为它们的长度和夹角都是已知的.

师：好的，这样继续下去就可以了，但我们最好能够先把式子化简以后再代入计算比较好.我们可以利用三角形法则或平行四边形法则，把

生5：哦，我还要把它转化为直接用基底向量来表示.

师：请问大家还有没有别的方法吗？

生6：也可以用建系的方法.

（生6上讲台画了一个以E为坐标原点，BE为x轴，过点E的垂线为y轴的直角坐标系，然后讲解了各点坐标的求法）

师：大家建系的方法都是这样吗？

生7：我是以B为原点的.

师：嗯，大家的原点选取可能不同，但x轴选的都是BE吧.最后算出来的答案是-，还没有算对的同学课后再去算一遍.

师：刚才我们拖动点把图形变了变，但我们还不甘心，还想再拖动拖动.

（笔者试着在图4的图形中拖动点D和点C）

师：刚才在拖动的过程中，有一个交点，即直线BD和AC的交点，所以老师现在的注意力在交点上.

（笔者隐去一些辅助线，给出问题4）

图5

四、回归应用，自然生成

问题4：如图5，在△ABE中，BE= 2，EA=4，O是△ABE的外心，

师：好，这题由谁来解决呢？

（学生思考一段时间后，生8上讲台写下了自己的解题过程.）

师：请生8来解释一下.

生8：因为点O是△ABE的外心，即是三角形边中垂线的交点，所以也就等于方向上的投影是也是这样求的.

师：很好，既然你这样可以投影，那我们刚才在算问题2的时候可以吗？（故作疑问，这时笔者已经想起在讲问题2的时候没有用数量积的几何意义来解题）

生9：也可以的.（迫不及待）师：那好的，生9，你上来讲给大家听听.

（生9上黑板在图2上添加了辅助线，画了图6）

师：那哪一个是投影？

生9：AF是投影.

师：投影是一个数还是向量？

（这时，下面的学生有回答是向量的.生9刚开始也认为是向量，但马上反应过来，投影应该是一个数）

师：那投影是一个正数还是负数？

生：看它们的角，两个向量的夹角是一个钝角，所以应该是一个负数？

图6

一个负数.

（终于把该讲的内容补齐，笔者很开心.据课后与听课老师交流，他们以为这里是笔者故意这样处理的，真是无心插柳柳成荫）

师：好的，我们现在再回到刚才的问题4，原来的条件都不变，老师现在再追问一个问题.追问：若∠AEB=120°

图7

一番巡视之后，笔者又请生10上黑板板演，生10上黑板后建立了一个直角坐标系，如图7.因为该生是用建系的方法，但一时坐标算不出.

师：建立直角坐标系以后你准备怎么算呢？

生10：点A和点B的坐标是好求的，但点O的横坐标好求，纵坐标好像有点难求.

师：嗯，那点O的横坐标你是如何求的？

生10：是-1，跟BE的中点横坐标是一样的.

师：嗯，那大家觉得纵坐标如何来求呢？

生（部分）：可以列方程去解.

师：很好，可以列哪个方程来解？

生11：还是要利用外心的定义，可以利用OA=OE这个方程来解.

师：嗯，坐标有了以后，问题就转化为关于λ1与λ2的二元一次方程组的问题，请未完成的同学课后再去计算.请问不建系如何解决？

（这时生12主动提出他可以解决，这时笔者让生12上讲台板演）

师：生12非常好地解决了问题，用到了数量积的运算，老师在追问中给出∠AEB的大小，同学们能想想为什么吗？

生13：这样其实就是确定了向量的基底，能用基底算具体值了.

师：很好，数量积这一运算工具就能很好地利用起来了.

师：通过这节课，老师希望同学们对向量数量积的运算有进一步的认识提升，也能对学习数学知识产生更浓厚的兴趣，做好这个思维体操.下面老师把这节课总结了十六个字送给大家，“想想定义，看看投影，换换基底，算算坐标”，也即“想看换算”.

（这时铃声响了）

五、感悟与反思

本节课笔者在课前利用几何画板精心制作了课件，特别是问题之间的衔接.各问题之间都是用几何画板对图形进行变换得出，使问题的生成更加的自然，也让学生感受从简单到复杂的过程.

笔者认为，一节课应是在教师的预先设计下，在师生和生生的合作、对话、碰撞中来完成.教师应顺其自然，让学生发表自己的意见，才能使课堂更加和谐，学生的参与热情也会更高.教师教学时要敢于放手，给学生更多时间思考和讨论，以此来完成任务，这样才能培养学生的创新精神和创造能力，以体现课堂的民主性和平等性.

复习课中，如何减轻学生的负担，提高复习效率，真正做到轻负高质呢？最重要的一个方面是教师自己要加强解题研究，课堂上要善于一题多变、一题多解、多题归一，这样可以激发学生的兴趣，激活学生的思维，提升学生的能力.其次，复习时应突出知识间的相互联系，使知识条理化、系统化，从而完善学生的认知结构.

1.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

2.余继光.数学问题串的结构与设计策略［J］.中国数学教育（高中版），2012（1-2）.

3.李维坚.动态课堂中教与学的平衡［J］.中学数学（上），2016（1）.F