☉江苏省如皋中学沙涓

发挥课本例习题的教学能力

☉江苏省如皋中学沙涓

课堂教学除完成教学计划及传授知识，笔者认为数学课堂教学，最主要的目的就是让学生的思维得到最充分的发展，只有这样才能促进有效教学，从而提高学生的数学能力.对于学生的关注，无论花多少时间，都是值得的.在课堂上，我们一定要给学生充分的思维空间，作为教师只有紧紧围绕培养和提高学生思维能力来实施教学，才算是抓住了教学的本质和核心.抓住课本例习题，可以发挥其最大的功能.本文笔者结合近年高中数学教学的实践，谈谈自己在利用课本例习题培养学生探究能力方面的一些体会.

一、关注一题多解，激发学生的探究兴趣

课本中的例题，基础性与典型性极强，而且有很深的内涵.大部分是一题一解，解题的目标明确，符合大多数学生的认知要求.如果我们在教学中能充分挖掘例题的潜能，放手让学生大胆探索，引导学生从多角度思考问题，广泛、综合地应用所学的知识，找到多种解题方法.这样能更有效地发挥学生的逻辑思维、发散思维，提高全面分析问题、解决问题的能力，起到把所学知识融会贯通的作用.一题多解不仅体现了解题能力的强弱，更重要的是其具有开放式思维的特点，是一种培养创新能力的重要思维方法.因此，一题多解应当成为学生掌握数学知识和探索数学思维规律的重要手段.

案例1已知一个等差数列前10项和是310，前20项的和是1220，求前30项的和.

在此之前已经学习了等差数列的定义、通项公式及前n项和公式.请同学们运用所学知识解决下面问题，并要求学生从多角度思考，可以得出不同的解法.多数学生由于之前通过预习，再加上刚刚学习了等差数列的通项公式和前n项和公式，抓住等差数列的基本量a1和d，通过解方程，进而求出结果.这正是我们学习数列要深刻体会的思想和方法，应牢固掌握.于是不难想到的第一种方法：

所以S30=3×302+1×30=2730.

这时引导学生进一步思考，得用等差数列的性质，大胆猜想，前10项、前20项、前30项有其中的规律，看看还有没有其他的解法呢？学生议论纷纷，有人发现了如下的解法.

解法三：猜想数列S10，S20-S10，S30-S20也是等差数列.（可以证明）

所以2（S20-S10）=（S30-S20）+S10，

即S30=3（S20-S10）=3（1220-310）=2730.

这正是后面习题中要求我们证明的一个结论.这一结论反映了等差数列的又一个性质，用它处理有关问题简洁而明快.此时学生的探究问题的兴趣和热情更加高涨，思维活跃起来，大家积极思考，大胆猜想，由解法二和解法三的启示，会得到又一解.

解法四：由解法二知，Sn=an2+bn，两边同时除以n得求出a1和d，就可求出S30=2730.（详解略）

这的确是一种非常好的解法，但我们如果仔细观察等差数列的前n项和公式的特点，再与我们学过的函数结合起来，引导学生进一步思考.这时学生会想到采用待定系数法可以解决.于是得出下面的解法二：

解法二：设Sn=an2+bn（a，b为待定系数），得，从而构造一个新的数列｝，且也是一个等差数列.

此法构造了一个新的数列，灵活运用了课本上的结论，处理问题干净利索，思维有深度，见解独特，构造合理.看来探究是没有止境的.还有更好的解法吗？请同学们课后认真思考.其实还可以证明如下结论：

在数列｛an｝中，如果Sm=a，Sn=b，则

利用此结论也可以解决以上问题.

解法五：因为S10=310，S20=1220，即m=10，n=20，

以上方法中虽不是解决该问题的最简单最直接的方法，但通过这样的广泛思考，大胆探索，让学生发现了新的结论，也进一步加深了学生对概念的理解和掌握，激发了同学们探究知识的欲望，培养了他们的发散性思维和创造性思维.教材中的例题是编者从茫茫题海中精挑细选后才确定的，不仅具有问题的典型性、代表性和示范性，更具有学后反思的探索性和创造性.因此教师应对例题进行深挖掘，帮助和引导学生进行再创造、综合运用所学知识，把所学知识融会贯通，找出不同的解题方法.在这样的理念下，通过一道普通例题的多角度多方位反思、提练，促使学生从例题进行自主探索，进而提高学生自己解决问题的能力、对知识的迁移能力，达到触类旁通的效果.

二、引导变式推广，培养学生的探究习惯

在数学教学中，从课本例习题出发，进行变式教学，无论从内容还是方法上都有着“固体拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”的效果.通过例习题的变式练习，学生不仅可以全面、深刻地掌握和理解知识，还能在很大程度上提升学生的思维品质，有利于培养学生探索、研究问题的能力.所以，有效的例习题变式训练也是培养学生探究习惯的途径之一.

案例2如图1，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？（人教版选修2-1第41页）

解：设M（x，y），P（x0，y0），则x20+=4.

图1

代入上述方程得x2+（2y）2=4，即

所以点M的轨迹为椭圆.

点评：问题本身并不难，但我们可以进一步的理解：椭圆是圆按一定方向的压缩，圆是椭圆按一定方向的拉伸.从这一角度理解，笔者发现很多题目可以是这道题目的变式.

变式1已知定直线l与平面α成60°角，点P是平面α内的一动点，且点P到直线l的距离为3，则动点P的轨迹是什么？

变式3已知椭圆C与椭圆C的公共点个数为多少？

由以上的知识可知，椭圆和圆之间确实存在一些类似的关系，在圆中有kPA·kPB=-1，那么在椭圆中，kPA1·kPA2的值呢？带着这样的疑惑、猜测以及严格的推理论证.笔者得到椭圆中如下的性质：

性质2：若AB是椭圆（当斜率存在时）.

由此可见，变式教学是提高课堂效率的有效途径，它可以改善当前数学教学中的机械使用例习题教学的现状，有利于提高学生分析问题、解决问题的能力，从而培养数学探究的习惯.

教材始终是最重要的第一手教学资源.教师要能够充分利用第一手资源，就要深入潜心仔细研究教材，复习中，采用一题多解的方法，多层次、多角度地思考问题，把单薄的知识系统化，织成较宽的知识面.通过一题多解、多题一解的方法，了解知识的内在联系，深入理解及掌握所学的知识.只有这样才能真正实现“把数学冰冷的美丽转化为火热的思考”.

三、引导学生大胆猜想，提升学生的探究能力

高中数学新教材增加了有关“合情推理”的内容.这不仅能够使学生相对完整地接触各种推理方式，而且能使学生学会归纳、类比、猜想.其中，归纳猜想是高中生应掌握的一种很重要的推理能力，而以往的教学常常对此有所忽视.著名的“四色猜想”、“费马猜想”、“哥德巴赫猜想”等命题就曾在极大程度上推动了数学科学的发展，书写出辉煌的历史.因此，在中学教学阶段，教师不但要有意识地鼓励学生大胆地进行归纳猜想，还应该努力指导他们实现从猜想到证明的过程，从而加深对问题的认识，提升探究数学问题的能力.

案例3观察以下各等式：

分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.

（人教版必修4第128页习题3.1B组第3题）

这是立意深刻、内涵丰富的一道好题，它以特殊角的三角函数证明题为基础，考查一类三角恒等式的证明和推广，进而检测学生思维的灵活性和归纳、总结、猜想、研究、探究能力.本题证法很多，限于篇幅，笔者不一一列出，现给出部分推广，供读者参考：

推广1：若两角β-α=30°或β-α=150°上式仍成立，

推广2：若两角α+β=30°或α+β=150°上式仍成立，

推广3：若两角β-α=60°或β-α=120°上式仍成立，

推广4：若两角α+β=60°或α+β=120°上式仍成立，

推广5：若两角β-α=45°或β-α=135°上式仍成立，

推广6：若两角α+β=45°或α+β=135°上式仍成立，

以上几个变式推广与原题的本质基本相同，角度差都是我们常见的特殊角，类似的结论还可以推广出很多，证明方法和前面证明方法也是类似的，那么上述规律是否还可以继续推广呢？我们观察上述两种形式的公式，

三角恒等式一：sin2α+cos2β-2sin（α+β）sinαcosβ= cos2（α+β）.

三角恒等式二：sin2α+cos2β-2sin（α-β）sinαcosβ= cos2（α-β）.（限于篇幅，证法略）

上述证明推广变式引申出三角恒等式则考查了学生观察、思考、归纳、总结、探究的类比能力和归纳总结能力.所以我们要树立对问题和习题探究理念，面对一个具体的课本上的问题或高考题，透过表象，揭示出问题的规律和本质，这不仅能激发学生学习数学的兴趣，提高学生的探究数学能力，还可以培养学生对数学的美好情感.

四、关注学生类比迁移，培养学生的探究意识

类比迁移是利用已有问题的解答思路来解决相类似问题的一种解题策略.通过“类比迁移”例习题的训练，可以使学生在类比中模仿、探究、创新，有利于学生看透相类似问题的本质，激发学生的发散性思维，提高分析与解决问题的能力，从而培养学生的探究意识.

案例4类比直角三角形的勾股定理，提出猜想——在直角三棱锥（3个面两两垂直的三棱锥）中，斜面面积的平方等于三个直角面面积的平方和.（人教A版选修2—2第74页）

伟大的数学家波利亚曾经说过：类比是一个伟大的引路人，许多立体几何问题可以从平面几何中的类比得到.立体几何是建立在平面几何的基础上，平面内许多的概念、公式与性质可以类比推广到空间几何中，得到许多美丽的结论和性质，实现“空间问题平面化”.因此，教师应借助该例题所包含的数学思想方法，类比直角三角形的其他性质，引导学生提出直角三棱锥相类似的结论，并给予证明.

类比迁移：针对“直角三角形斜边上的中线长等于斜边边长的一半”，提出猜想：直角三棱锥中，中面面积等于斜面面积的，其中“中面”表示过直角三棱锥的直角顶点及斜面任意两边中点的截面.

解析：如图2，在三棱锥P-ABC中，直线PA，PB，PC互相垂直，且D、E分别是线段AC、BC的中点，那么PD=AC，PE=BC，DE∥A AB，DE=AB，因此△PDE≌△CDE，所以面积比为

图2

拉普拉斯认为“甚至在数学，发现真理的主要工具，也是归纳和类比”.为此，笔者为了巩固得到的成果，布置学生课后尝试将三角形其他性质类比联系到直角三棱锥中，“使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程”.

对照教材中的例习题，教师设计的例题应该精一点、活一点，这样学生就能学得好一点.数学教师在教学中，重视一题多解、习题变式、归纳猜想、类比迁移等教学方式的应用，可以促进学生思维的迁移，培养学生学习探究的良好习惯.Z