☉江苏省石庄高级中学 朱玉群

对解题思路自然生成的几点感悟

☉江苏省石庄高级中学 朱玉群

数学解题中的通法训练、题根训练等均是以题型为根本，针对某一题型的相应解题策略的训练，但数学问题千变万化，有些根本无法将其进行分类.要解答此类问题并无规律可循，就需要我们利用扎实的基础知识来寻找问题的切入点.

一、由已知入手，循序渐进，结论自然生成

已知条件是我们解题的依据，题目条件给了哪些信息？这些信息之间有什么关系？由这些条件还可以得出哪些结论？这些结论与我们所要求解的结论有什么关系？弄清了这些问题，问题不攻自破.

例1（2016年四川卷）设直线l1，l2分别是函数（fx）=，图像上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）.

（A）（0，1）（B）（0，2）

（C）（0，+∞）（D）（1，+∞）

条件审视：（1）与曲线的切线有关的问题，我们常借助导数的几何意义求解，不妨设x1＞x2，P1（x1，lnx1），P2（x2，

-lnx）2（.x1＞1，0＜x2＜1，下面会交待）

（2）直线l1，l2互相垂直，则k·1k2=-1，即（若0＜ x2＜x1＜1，或x＞x2＞1，则k1k2=-1不可能成立）所以l2的方程可化为（实现了变量的统一）

在直线l1，l2的方程中分别令x=0，则A（0，-1+lnx1），B（0，1+lnx）1.联立l1，l2的方程得P

至此问题得到完美解决.

评析：通过上述分析求解过程可以看出结论的得出是从已知条件入手，循序渐进得出所要求的结论.因此解题中要善于利用所给条件，这里所说的条件既有题目直接给出的，也有隐含的需要我们进一步挖掘才能得出的条件.

二、把握结论与条件的关系，所求结论也是条件

某些问题的求解中，若从条件入手未能找到解题思路时，我们尝试从结论入手，即观察结论与所给的条件有什么关系？当结论成立时应满足什么样的条件等，往往可使解题思路“柳暗花明”.

则所有正确结论的序号是（）.

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

逆向解答：本题的求解可从结论入手，如右图.

△AOB

正确选项为C.

评析：在无法判断结论②是否成立时，转向先判断结论③，在结论③成立的条件下判断出结论②是错误的，这是问题顺利求解的关键.因此问题求解中，在思路暂时中断的情况下可转换思维的方向，可使解题思路豁然开朗.

三、善于将问题进行等价转化，由此及彼，触类旁通

在解答某类综合题目时，若直接求解，常常感觉不知从何入手，但是如果我们将题目中所给的式子进行等价变形，则可将陌生的问题转化为熟悉的问题求解.但很多学生对朝哪个方向变形不明确，因此这类题目也承载着考查学生探究能力、分析问题解决问题能力以及运算求解能力的功能.

例3（2016年北京高考）设函数f（x）=xea-x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e-1）x+4，

（1）求a，b的值；

（2）求f（x）的单调区间.

常规求解（1）因为f（x）=xea-x+bx，

所以f′（x）=ea-x-xea-x+b=（1-x）ea-x+b.

因为曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e-1）x+4，所以f（2）=2（e-1）+4，f′（2）=e-1，

即f（2）=2ea-2+2b=2（e-1）+4，①

f′（2）=（1-2）ea-2+b=e-1.②

由①②解得a=2，b=e.

（2）由（1）可知，f（x）=xe2-x+ex，f′（x）=（1-x）e2-x+e.

令g（x）=（1-x）e2-x，

所以g′（x）=-e2-x-（1-x）e2-x=（x-2）e2-x.

当x变比时，g′（x）与g（x）的变化情况如下：

所以g（x）的最小值是g（2）=（1-2）e2-2=-1，所以f′（x）的最小值为f′（2）=g（2）+e=e-1＞0，即f′（x）＞0对∀x∈R恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，无减区间.

评析：本题在求出导数f′（x）=（1-x）e2-x+e后，不易直接判断其正负，故利用二次求导处理.如果不进行二次求导，是否还有其他处理策略？

注意到f′（x）=（1-x）e2-x+e含有恒大于0的式子e2-x，将其进行等价转化可得f′（x）=（1-x）e2-x+e=e2-x（1-x+ex-1），欲判断1-x+ex-1的正负，可以通过研究与其本质相同的简单函数ex-x的正负，易知ex-x＞0恒成立，因此问题得解.

四、不畏惧难题，心有所想，笔有所写

学生解题时常存在这样一种情况：只是想，并不动笔.在面对一道没有思路的问题时，其实我们并非完全没有思路，那么我们想到什么，就应该写出什么？如果把我们想到的都写出来，综合一看也许你自己就知道该向哪个方向去思考了.

例4已知m∈R，f（x）=2x3+3x2+6（m-m2）x.

（1）当m=1，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

问题识别：面对此题，大部分同学感到困惑，不知从何下手.不难发现本题是导数背景下的不等式恒成立问题，此类问题通常转化为函数最值问题处理，那么我们为什么不先求导，进而再求函数的极值、最值呢？

f′（x）=6x2+6x+6（m-m2）=0，即x2+x+m（1-m）=0，解得x1=-m，x2=m-1，当f′（x）＜0时，-m＜x＜m-1.当f′（x）＞0时，x＜-m或x＞m-1，所以，函数f（x）单调增区间是（-∞，-m）和（m-1，+∞），函数f（x）单调减区间是（-m，m-1）.因此，函数f（x）极大值f（-m），函数f（x）极小值f（m-1）.

继续计算可得f（-m）=4m3-3m2，f（m-1）=（m-1）2（1-4m），只要仔细观察，不难发现f（m-1）=（m-1）2（1-4m）这个条件的特殊含义，即不等式（m-1）2（1-4m）≤f（x）≤20就是f（m-1）≤f（x）≤20，至此解题思路再次延续.当m-1≥0，如果函数f（x）在区间［k，0］上满足f（m-1）≤f（x）≤20，要求k的最小值，必有k≥x0，其中f（m-1）=f（x0）或者f（x0）=20；当m-1≤0，显然k最小值肯定位置极小值点左侧，然后就和前者一样了.

当m-1≥0，即m∈［1，2］时，f（0）=0，令g（m）=4m3-3m2，g′（m）=6m（2m-1）＞0，所以函数g（m）=4m3-3m2在［1，2］上单调递增，g（m）≤g（2）=32-12=20；

接下来再处理f（m-1）≤f（x），欲求kmin，本质上就是要解方程f（m-1）=f（x0），由于f（m-1）为常数，也就是要解三次方程2x3+3x2+6（m-m2）x-（m-1）2（1-4m）=0.继续看本题中方程f（x）=f（m-1）的解，注意到直线y=f（m-1）与函数f（x）图像在极小值点x=m-1处相切，故x=m-1是方程的二重根，即x1=x2=m-1，另一个根是x0，而三次方程均可通过因式分解化为2（x-m+1）2（x-x0）=0，观察易知可见，函数f（x）在区间［k，0］上满足f（m-1）≤f（x）≤20，要求k的最小值，必有k≥x0，即kmin=，此时k≥ .问题得解.

评析：面对一道不知从何入手的问题，不要等到想通整个解题思路再动笔，所想到的都要写出来，有些对于解题可能是无用，但解题之前我们并不知道它是否有用，而有些恰恰是解题所必须的.因此既有敢想，也要敢写.

总之，高考命题常考常新，难免会遇到陌生的题目，陌生往往只是在形式上，本质上不会超出我们所学知识范围内，因此灵活应用上述几种策略，可使解题事半功倍.Z