☉江苏省如东高级中学 宋浩

高中三角函数诱导公式教学分析研究

☉江苏省如东高级中学 宋浩

在我们的社会生活中，数学知识无处不在，并一直影响着我们的生活，对人类社会文明的进步起着推动作用.高中数学不仅仅是为了应付高考中的数学考试，也为大学期间学习高等数学打基础.尤其是三角函数部分，不仅是高中阶段的重要教学内容，还是高等数学的重要组成部分.新的课程标准提出以后，在新版的数学教材当中，三角函数部分仍然是高中数学的重点学习内容.

一、高中阶段三角函数诱导公式学习现状分析

在初中阶段，学生学习的三角函数是从勾股定理开始的，主要研究0°到90°角范围的正弦、余弦和正切等数学关系.到了高中阶段，在角的范围上扩展到了任意角的范围，是通过在直角坐标系中对圆的研究来研究三角函数问题的.然后根据圆的性质问题引出函数的诱导公式，并通过几何图形加深学生对公式的理解.与初中学到的三角函数不同的是，高中三角函数公式更为复杂和紧密，学生在学习过程中往往会产生很多困惑.例如，第一，学生会感觉无从下手，在初中的时候，只要是熟记三角函数的几个公式就可以解决常见的一些问题，但是到了高中以后，三角函数部分的知识点又多又杂，遇见的题型大都非常复杂，学生一拿到手感觉无从下手.第二，学生知识网络化意识不强，由于教师在上课的时候是根据教材安排一点点进行讲解，学生没有形成知识的系统性，在遇到问题时不能将知识点前后进行串联，想到一点写一点，导致得不出最后的结果.第三，由于函数部分公式较多，学生记忆起来比较困难，而且高中阶段学生课业负担较重，学习的知识量也较大，烦琐的公式记忆给学生的学习带来了很多不便.

二、三角函数诱导公式研究及应用实例

三角函数部分的公式主要包括诱导公式、同角函数公式、和差公式三个类型，其中诱导公式作为三角函数公式中的基础，是解决三角函数问题的关键.在教学过程中教师要将这类公式进一步分类，并结合实际例子让学生学会运用三角函数诱导公式来解决实际问题.

1.三角函数诱导公式的归纳

三角函数的诱导公式主要就是用来化简三角函数的角度问题，将大于90度的任意角，转化为小于90度的角，就是将角n·±α的三角函数转化为单纯的锐角三角函数.从课程标准来看，在三角函数诱导公式这一部分，学生要掌握±α，90°±α，180°±α，270°±α，360°±α这些角之间的关系，并能够运用函数诱导公式对这些角进行求解.

三角函数的诱导公式，根据它自身的规律可以分为以下几类：

第一类，三角函数等号两边的函数名称相同.其中有一种是，都是将任意角的三角函数值转化为0°与90°之间的三角函数值，并且等号两边都是正号.例如，sin（α+ 2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，tan（α+2kπ）=tanα.还有一种是表示α和180°+α之间关系的三角函数，从整体的形式上来看正弦和余弦等号两边的函数名称相同，但是符号相反，但是正切公式两边的名称和符号相同.例如，sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα.另一种就是角的起始边是相同的，但是终边正好相反，这一类的函数它的正弦和正切的值互为相反数，但是它们余弦的三角函数值相同.

第二类，公式等号两边的三角函数名称互余.这一类的三角函数诱导公式计算出来的结果，它的正负号要根据角所在终边的象限来确定，像α，其中是奇数

倍的角的正弦、余弦和正切函数值正好等于角α的余弦、正弦和余切的函数值.

将这两类的诱导公式进一步总结，可以总结成为口诀“奇变偶不变、符号看象限”，并通过相关的练习题，将这一口诀灵活运用.

2.三角函数诱导公式应用归类及实例分析

在应用三角函数求任意角的三角函数值时，首先要将负角转化为正角，再将正角转化为0°～360°范围的角，再将超过90°的角转化为锐角，最后求出转化后锐角的三角函数值.具体的应用类型可以分成以下几种：

第一，函数的求值问题.

例1求下列各式的值：

（1）sin1560°+cos210°；

解题策略：拿到这两个题，首先要考虑的就是要将这两个题目中出现的角进行形式换算，利用π±α和±α的形式替代问题中出现的角，将题目中的“大角”转换成0°～90°的“小角”，这样便可以利用锐角三角函数的求值公式进行求值.

第二，函数的化简问题.

例2化简以下函数式：

解题策略：很多学生一拿到这道题就感觉非常麻烦，就会产生畏怯感.其实这道题利用诱导公式就可以一步步进行化简.这是一个由三个三角函数组成的分数式，并且这三个三角函数组跟课本上的三角函数诱导公式非常相似，可以将sin（2π-α），sin（-2π-α）和cos（6πα）化简为-sinα，sin（-α），cosα，用同样的方法，可以将分母上的函数化简为cosα，-cosα和sinα，这样一来就可以很简单地求出最后的结果-tanα.

1.张奠宙.数学［双基］教学的理论与实践［M］.南宁：广西教育出版社，2008.

2.教育部关于学习贯彻全国教育工作会议精神和《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》的通知［J］.教育部政报，1999（Z2）.

3.王后雄，马春华，马赛.高考完全解读·课标本数学（理科）［M］.北京：接力出版社，2013.Z