☉江苏省平潮高级中学 王小冬

由此及彼谈圆锥曲线问题求解思路的生成

☉江苏省平潮高级中学 王小冬

圆锥曲线因综合性强、计算量大等特点，成为学生学习难点之一.从近年高考阅卷情况来看，得分率也确实不尽人意，满分者寥寥无几.此类问题是否真的是学生无法跨越的鸿沟吗？其实不然，只要我们具有扎实的基础知识、系统的知识网络，仍然可以顺利找到问题的切入点.下面举例说明.

一、引例说明

题目（2016年山东卷理）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点.

图1

（1）求椭圆C的方程.

（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点M.

①求证：点M在定直线上；

②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S，求的最大值及取得最大值时点P2的坐标.

本题是椭圆与抛物线交汇问题，第（1）问较为基础，利用抛物线方程求出其焦点坐标的纵坐标，即为b值，再利用离心率的定义及a，b，c之间的关系求出a值即可.下面对第（2）问的解题思路进行探究.

二、思路探究

第（2）问的解答须做好如下几个问题的探究.

问题1：与曲线切线有关的问题我们会想到什么？

我们知道导数的几何意义：函数在某一点的导数值即为在该切线的斜率.因此遇到与曲线切线有关的问题可借助导数法求出切线的斜率，从而表示出切线方程.

问题2：切线l与椭圆有两个不同交点，此类问题如何处理？

常规处理办法是将直线方程与椭圆方程联立，代入消元，得含x或y的一元二次方程，再利用判别式法、根与系数的关系，整体表示，设而不求.