☉江苏省运河高等师范学校 许荣良

数学归纳法中运用归纳假设的策略

☉江苏省运河高等师范学校 许荣良

数学归纳法是高中数学解题过程中经常运用到的一种科学的证明方法，对于数学思维的培养也非常重要，解决问题具有实效快速等优点.一般地，数学归纳法有两个步骤：（1）证明当n取第一个值n0时命题成立.n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况.（2）假设当n= k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.综合（1）（2），对一切自然数n（n≥n0），命题P（n）都成立.数学归纳法的第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可.在运用数学归纳法证明命题时，对第二步n=k+1时结论的正确性的证明是整个证明过程中的重难点.我们除注意利用归纳假设外，还要注意对照结论充分利用其他数学证明方法，如放缩法、构造法等.也就是说，当我们利用归纳假设后仍不能直接变形推出结论时，需要采用下述方法进行证明，以达到目的.

一、与放缩法联合

例1设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.求证：当x＞-1且x≠0时，（1+x）p＞1+px.

证明：用数学归纳法证明.

①当p=2时，（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x，原不等式成立.

②假设p=k（k≥2，k∈N*）时，（1+x）k＞1+kx成立.

当p=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x.

所以p=k+1时，原不等式也成立.

综合①②可得，当x＞-1且x≠0时，对一切整数p＞1，不等式（1+x）p＞1+px均成立.

评注：放缩法是数学归纳法中常用的方法.本题从“k”过渡到“k+1”时，首先只能利用假设得到（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx），将（1+x）（1+kx）展开得1+（k+1）x+kx2，与目标式子1+（k+1）x进行比较发现，需要减少一项kx2，故需要放缩.

二、与方程思想相伴

例2设数列｛an｝的前n和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15.

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）求数列｛an｝的……