☉江苏省如皋市第二中学 何敏

一道课本例题的教学探究

☉江苏省如皋市第二中学 何敏

在高中数学课堂教学中，教材中的例题、习题的解答是学生获得系统知识的主要来源.因此，如何充分展示每道例习题的教学功能成为了摆在每位数学教师面前的一个核心课题.笔者认为，教师要充分发挥每道例习题的教学功能，应该深入挖掘例习题的内涵，引导学生对教材中的一些典型例习题进行一题多解、变式推广、归纳猜想、类比迁移等多方面的探究，调动每一位学生学习数学的积极性，使不同层次学生的数学思维能力都得到提升，从而逐步培养学生探究精神和创新意识.笔者在教学实践中，从一道课本例题出发，对此题进行了推广探究，希望能给高三复习提供一些思路.

一、例题呈现

例1已知O是直角坐标原点，点A，B是抛物线y2= 2px（其中p＞0）上异于顶点的两个点，且OA⊥OB，OM⊥AB并相交于点M，求点M的轨迹.（人教A版4-4第33页）

原题解答是用参数方程，笔者给出另一种解法，并就此推出一般结论.

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=ky+n.代入y2=2px并整理，得y2-2pky-2pn=0，因此y1+y2=2pk，y1y2=-2pn.从而x1x2=-2pnk2+2pnk2+n2，因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即n2-2pn=0，因为n≠0，所以n=2p.因此直线AB经过定点（2p，0），由OM⊥AB可知，点M的轨迹是圆（x-p）2+y2=p2.

二、推广探究

若将原题中的抛物线改为圆，其余条件不变，又有什么结论？经过推理论证可得：

命题1若O是直角坐标原点，点A、B是圆C：x2+y2= R2上的两个点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，则点M的轨迹是圆

图1

证法1：如图1，连接OB，OA则由已知可知OM是等腰直角△的斜边AB上的高，所以OM=R.故点M的轨迹是圆x2+，

证法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程为x=ky+n，代入圆C的方程并整理，得（1+k2）y2+2kny+n2-R2=0，因此