☉安徽省太和县太和中学 岳峻

主元法破解极值点偏移问题

☉安徽省太和县太和中学 岳峻

2016年全国卷Ⅰ的第21题是一道导数应用问题，呈现的形式非常简洁，考查了函数的双零点的问题，也是典型的极值点偏移的问题，是考生实力与潜力的综合演练场.虽然大多学生理解其题意，但对于极值点偏移的本质理解的深度欠佳，面对此类问题大多感到“似懂非懂”或“云里雾里”.

所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用.作为一线的教育教学工作者，笔者尝试用主元法破解函数的极值点偏移问题，理性的对此类进行剖析、探究，旨在为今后的高考命题和高考复习教学提供一点参考.

一、试题再现及解析

（一）题目

（2016年全国卷Ⅰ）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（1）求a的取值范围；

（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2.

本题第（1）小题含有参数的函数f（x）有两个零点，自然想到研究其单调性，结合零点存在性定理求得a的取值范围是（0，+∞）.第（2）小题是典型的极值点偏移的问题，如何证明呢？

（二）官方解析

（2）不妨设x1＜x2，由（1）知，x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x2∈（-∞，1），f（x）在（-∞，1）上单调递减，

所以x1+x2＜2等价于f（x1）＞f（2-x2），即f（2-x2）＜0.

由于f（2-x2）=-x2e2-x2 +a（x2-1）2，而f（x2）=（x2-2）ex2+ a（x2-1）2=0，

所以f（2-x2）=-x2e2-x2 -（x2-2）ex2

.

令g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，则g′（x）=（x-1）（e2-x-ex），

所以当x＞1时，g′（x）＜0，而g（1）=0，

故当x＞1时，g（x）＜g（1）=0.从而g（x2）=f（2-x2）＜0，故x1+x2＜2.

二、对解析的分析

本问待证是两个变量的不等式，官方解析的变形是x1＜2-x2，借助于函数的特性及其单调性，构造以x2为主元的函数.由于两个变量的地位相同，当然也可调整主元变形为x2＜2-x1，同理构造以x1为主元的函……