☉江苏省南京市第九中学 金玉明

借一道高考题谈核心素养中的数学运算

☉江苏省南京市第九中学 金玉明

新高考方案即将在今年底或者明年初出台，相应的课标制定、课程建设、学生评价、课堂教学等一系列规范要求也即将浮出水面.我们作为一线教师，最为关注的，也是我们确实可以作为参与者参与教改的部分就是课堂教学.笔者对于数学学科核心素养做了一些查阅和研究，认为数学学科核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与思维品质.数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体.

下面就2016年高考江苏卷数学第14题为例，作以下几个方面的分析：

一、高考原题

题目在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是_________.

二、知识点构成及题目来源

本题考查的知识点主要是三角变换、解三角形和函数值域的求解.题目应当可以认为是由必修四课本上的例题（证明：在锐角三角形ABC中，tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC）变形而来.

三、考查意图

其中三角变换主要考查弦切互化和两角和与差的正弦、余弦及正切；三角形主要用到三角形内角和为180°及三个内角为锐角的条件；函数问题主要用到求导的方法求最值或者换元法求复合函数最值.考查的思想方法主要有化归思想、函数思想，有些地方也可以认为考查到了数形结合思想.以上这些方法的应用和能力的考查当然是一方面，笔者认为考查学生的数学运算能力也是本题考查的重要目标.如果在解决复合函数运算问题时，能够经常思考，并意识到整体代换（或者称之为换元法）在解决问题时的重要作用，解题时更加合理使用上述方法，将会使得运算简便的多.

四、解题方法

高考结束后，笔者跟几位同事一起将该题仔细研究并查阅相关资料，找出了几种解决问题的方法，几种思路都是先使用三角变换，然后再分别使用不同的方法，所以先将三角变换的前期过程表述如下：

若sinA=2sinBsinC，在锐角三角形ABC中，A=π-（B+ C），所以sin［π-（B+C）］=2sinBsinC，即sin（B+C）= 2sinBsinC.

又sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，得tanB+tanC= 2tanBtanC.

而在锐角三角形ABC中，tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC.

思路一：构造基本不等式，解决问题.

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

又tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥当且仅当tanA=2tanBtanC时取等号，即得到tanAtanBtanC≥，解不等式得到tanAtanBtanC≥8，所以最小值为8.

再往下的步骤又分几种解法：

（1）基本不等式法：x-1=t（t＞0），变形成基本不等式形式求解，具体解法略.

（3）二次型函数法：将分子x除到分母，用整体代换（或者换元法）求二次函数的最值，即g（x）=

具体解法略.

当然，思路二的重点在于进行换元求解，然后可使思路清晰，方法恰当.

思路三：消元法解决问题. 2tanBtanC，解出tanC=tanB（tanB＞1）. 2tanB-12

思路四：数形结合解决问题.

五、核心素养在本题中的体现

本题中考查的核心素养，除逻辑推理以外，重点考查的显然是数学运算能力.本题对于学生的数学运算能力要求是非常高的，学生在平时的训练中如果只是搞题海战术，让学生盲目的做题，显然学生的数学运算能力是不能得到应有的提高的，面对这样的问题也只能绕道而过.只有通过认真地观察问题的结构特征和蕴含的数学知识点，仔细分析问题的常见思路和一般方法、特殊方法，然后用合理严密的逻辑语言对其表达，才能准确快速地解决问题.数学运算能力是在数学学习的过程中逐步形成的，一方面，数学教学能够形成这些能力；另一方面，数学教学过程中需要培养这些能力.

数学教育的核心目标有三点：会用数学眼光观察世界；会用数学思维分析世界；会用数学语言表达世界.数学思维指的是逻辑推理、数学运算，其数学特征是数学的严谨性.对数学运算的要求，将不只是学生能将算术题算对，也不仅仅是将数学运算问题算正确，而是需要通过实践和探究，寻找解决问题的多种途径、方法，最终选择一个最合适的方法.

六、对教学中培养数学运算核心素养的反思

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.内容应当主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等（以上为概念内涵）.数学运算是解决数学问题的基本手段.数学运算也是一种演绎推理，是计算机解决问题的基础（以上为学科价值）.

数学运算应当是在提出问题的前提下，着手去解决问题的过程.数学运算就是“演绎推理”，是在对“数”的概念、运算及关系的公理体系下，并在由此导出或“规定”的运算法则下展开演绎推理的过程.如果不是连贯地书写的话，完全可以用“三段论”的格式进行表达.

教师教学中往往从多个角度来引进和理解数学知识，说明大多数教师更看重变式教法在教学中的作用.教师普遍认为变式的使用是学生理解、练习的需要，是课前有意识设计的.在学习空间的创设上，优秀教师更能创设适当的变异维度.笔者认为，应用变式教学法是培养核心素养中的数学运算能力的一种好方法.

七、推广的意义——举一反三能力的提高

如果想要提高学生的运算能力，培养举一反三的能力将是比较重要的手段.而举一反三的数学素养，需要平时多加训练.除教师在教学过程中对一些问题进行变式教学外，让学生主动参与到问题的变化中来，更为有效.当然，变式过程中，一定要遵循以下几个原则：第一，合理性；第二，变异性；第三，相似性；第四，渐进性.下面笔者举一例说明.

该问题的证明过程并不复杂，所以笔者在此不赘述了.而我们让学生研究的，绝不只是将这个三角形的面

积公式记住，而是用它来解决非常单一的求解三角形面积问题！而是让学生理解本问题的求解方法及过程.那么我们如何对此问题进行变式，以达到让学生真正掌握这一知识点和数学运算的方法呢？不妨先分析一下本题考查的主要知识点：解三角形中的余弦定理、三角形面积公式、椭圆定义及三角变换.方法主要是整体代换.

当然我们还有很多的变化方式，比如添加参数将求值问题变成求范围问题等.

为了训练不同的知识点或者解决问题的方法，我们可以采用举一反三的方法进行变式教学，相信这样的教学方式对学生的训练，就不是呆板的、重复的、无聊的纯代数计算题，而把它变成符合数学学科核心素养要求的、培养数学运算能力的有效教学方法.

希望我们能够帮助学生通过高中数学课程的学习，能有效借助运算方法解决实际问题，增强应用意识；通过运算促进数学思维发展，形成程序化解决问题的品质；养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.F