☉湖北省武昌实验中学 王艺龄

武汉作为我国航空新枢纽的数学求解

☉湖北省武昌实验中学 王艺龄

一、问题提出

航空运输是在具有航空线路和航空港的条件下，利用飞机作为运输工具进行客运或货运的一种运输方式.基于航空运输对发展国民经济和促进国际交往的重要意义，大多数国家都很重视发展航空运输事业.目前，我国航空运输主要是承担长途客运任务，航空货运量占全国货运量的比重还比较小.随着物流业的快速发展，航空运输将在货运方面扮演重要角色.航空运输的主要优点是速度非常快，缺点是成本很高.航空运输的主要成本由线路运输成本和航空港建设及维护成本两部分组成，其中航空港的建设及维护成本基本是固定的，而线路运输成本的最小化取决于航空港网点的地理位置和航线规划，转化为数学问题，即航空港网点到航空枢纽港的距离之和最小.

航空枢纽港是指在航空运输网络中具有重要中转功能和组织功能的大型航空港.我国目前已经建成使用、功能成熟、具备众多国际国内航线的航空枢纽港有北京、上海和广州，主要还是以客运为主.2016年8月18日清晨，由昆明飞往武汉的CZ3424航班降落在武汉天河国际机场第二跑道上，这是正式启用第二跑道迎来的首架民航客机.这是自2008年武汉天河机场启用二号航站楼以来的又一重大突破，意味着机场的容量正在扩大.这些是不是意味着现实中武汉已经发展为我国的航空新枢纽呢？

当我们把视线投向发达国家，比如美国，发现其航空运输是全国最主要的交通方式，通过采用中枢结构［1］，可以大规模地节约成本.美国自1978年航空放松管制，以亚特兰大为开始，先后形成了7大航空公司29个中枢网络，构成一个完整的航运市场和航空资源体系.其中航空枢纽是构成中枢结构的重要结点，选址航空枢纽是优化中枢结构的核心问题之一.本文将利用中学数学理论知识量化地研究武汉在我国成为航空新枢纽的相关问题.

二、数学理论

首先构造一个我国的航空网络简化模型，由航空网点组成，需要从这些网点中选取一个中心城市，这个城市就是我们求解的航空新枢纽.假设有n个城市组成一个航空网络，这些网点的坐标依次为：（x1，y1），…，（xn，yn）.

下面我们利用最小二乘法来计算航空网络的中心枢纽.假设航空网络中心的坐标为（x，y），显然，中心点到各网点的距离总和可以等价为距离的平方和.其中，定义：x—距离平方和=（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-xn）2，目标是得到上式的最小值.

配方

从这组公式可知，如果仅按距离和而论，我们只需计算n个网点坐标的平均值即可得出中心点的坐标.

实际应用中简单的距离因素不能决定一切，我们还必须考虑网点城市之间的航空运量需要，建立更符合实际情况的数学模型.即除了考虑网点坐标位置之外还应该考虑加权因素，我们定义航空网络中n个航空网点的权值分别为m1，…，mn，且m1+…+mn=1.

前述距离平方和可推广定义为：

x—加权距离平方和=m1（x-x1）2+m2（x-x2）2+…+ mn（x-xn）2.

同理可得关于y的计算公式.

即航空网络数学中心坐标的计算公式如下：

为了得到最小值，作配方：

显然，第一平方项为零时有最小值，即距离平方和取最小值当且仅当，x=m1x1+m2x2+…+mnxn，同理可得关于y的计算公式.

因此，推广情形下航空枢纽数学中心坐标的计算公式为：

三、问题求解

序号城市名东经xi北纬yi误差1 2015年人均GDP（元）权值mimi*ximi*yi误差2 1北京116.4639.9211.20702510.044.881.679.93 2天津117.239.1311.15704020.044.921.649.88 3上海121.4831.229.98732970.045.311.368.85 4重庆106.5429.599.05273670.021.740.4810.32 5拉萨91.1129.9724.10319810.021.740.5725.37 6乌鲁木齐87.6843.7736.37421510.032.201.1037.50 7银川106.2738.4712.48382950.022.430.8813.61 8呼和浩特111.6540.829.45650840.044.331.5810.58 9南宁108.3322.8414.01270270.021.750.3715.28 10哈尔滨126.6345.7527.20344670.022.600.9425.93 11长春125.3543.8824.05438930.033.281.1522.78 12沈阳123.3841.820.00618910.044.551.5418.73 13石家庄114.4838.037.33334620.022.280.766.06 14太原112.5337.875.62423180.032.840.966.75 15西宁101.7436.5615.10284460.021.730.6216.23 16济南11736.658.47573940.034.001.257.20 17郑州113.6534.763.23463690.033.140.962.52 18南京118.7832.046.46625930.044.431.205.33 19合肥117.2731.865.13473960.033.310.904.00 20杭州120.1930.269.65683400.044.901.238.52 21福州119.326.0812.94431210.033.070.6711.81 22南昌115.8928.686.93437700.033.020.755.80 23长沙11328.214.51645510.044.351.095.24

首先选取我国的主要航空网点城市构成航空网络，这些航空网点包括直辖市、省会城市和重要沿海航空港深圳、厦门和宁波等，共计35个重要城市，见下表.（说明：表中的城市坐标“东经xi”、“北纬yi”和“2015年人均GDP”三列数据源自互联网百度文库wenku.baidu.com.）

24武汉114.3130.523.51563670.033.841.032.38 25广州113.2323.169.79834950.055.641.1510.06 26台北121.525.0516.17--0.000.000.0015.04 27海口110.3520.0214.81288610.021.900.3416.08 28兰州103.7336.0312.58304300.021.880.6513.71 29西安108.9534.275.60382800.022.490.786.73 30成都104.0630.6710.45395180.022.450.7211.72 31贵阳106.7126.5711.90259410.021.650.4113.17 32昆明102.7325.0417.41329660.022.020.4918.68 33深圳114.5822.0712.23918220.056.271.2111.10 34厦门118.124.5413.28581570.034.100.8512.15 35宁波121.5329.8211.43673940.044.881.2010.30 36理论中心坐标及最小误差112.7332.453.23113.9332.522.38

首先应用公式（1），代入上表35个城市的坐标，计算出中心城市的理论坐标位置为（112.73，32.45）.对照该理论位置坐标，在航空网络中并没有一个完全吻合的航空网点城市，因此我们需要找出位置误差最小的实际城市.误差的计算公式为：|xi-x|+|yi-y|，具体各城市坐标位置的误差分布为表中的“误差1”数据.经过比较，得出与理论中心坐标位置误差最小的城市是郑州，郑州的坐标为（113.65，34.76）.

再应用公式（2）考虑加权的情况.城市人均GDP指标是城市总GDP与总人口数的比值，是能够客观反映一个城市的综合经济实力的，而经济越发达的城市对于航空运输的运量需求越大.本文取各大城市（不考虑台北市）2015年人均GDP指标作为各个航空网点城市的权值计算样本，2015年人均GDP指标经过归一化得到各个城市网点的权值mi，2015年人均GDP及计算权值mi具体数据见上表.这里的归一化处理是为了满足公式（2）的条件，即m1+m2+…+mn=1，可通过计算第i个城市的人均GDP指标与所有城市人均GDP指标总和的比值获得.应用公式（2），结合经济指标作为权值mi计算得到理论中心城市坐标位置为（113.93，32.52）.对照此中心位置，计算与之的距离误差，数据详见表中“误差2”.与理论中心坐标位置误差最小的城市正是武汉，武汉的坐标为（114.31，30.52）.

综上，纯粹从地理位置考虑，武汉作为中心城市位置并不是绝对最优的，地理位置最优的是郑州；当结合经济指标进行加权计算，武汉是在我国的经济发展体系中作为航空新枢纽的最佳选择.

四、结论

本文对当前的航空运输中枢纽热点城市之一——武汉市的航空新枢纽地位进行了讨论，通过最小二乘法对航空网络的枢纽港进行了具体计算.文中巧妙地采用配方法简化了距离平方和计算公式，推导出航空网络中心坐标的公式，也推导了更符合实际情况的加权公式；然后结合我国35个重要大城市的地理位置、经济指标，分别应用不同的公式进行了对比计算.计算结果表明，结合当前具有重大现实意义的经济指标人均GDP作为加权，武汉作为航空新枢纽是适应我国经济发展形势下的最佳选择.

当然，能够作为权值的还有其他指标，比如人口因素可能影响航空客运，因此公式（2）可以往多权值上继续推广.另外，航线规划也是直接影响航空枢纽地位的重要因素，可以通过公式（2）反向求解权值mi，即如果要让武汉市站稳航空枢纽的位置，考虑哪些因素和如何规划航线对武汉航空枢纽作用的发展最有利.此处不赘述.

1.贾锐军.从美国机场发展经验看中国航空枢纽建设的前景［J］.上海综合经济，2004（Z1）.Z