☉江苏省梅村高级中学 刘斌

试题选择与高效课堂
——探讨复习教学的针对性

☉江苏省梅村高级中学 刘斌

众所周知，有着十多年数学经验的教师往往陷入教学的一个瓶颈，即什么都想在课堂教学中讲给学生听、什么都舍不得放弃，结果总是在患得患失中降低了课堂教学的效率.从大量调查显示，作为教学经验和精力最为丰富的三十至四十年龄段的教师而言，他们既想全面地提升学生的应试能力，又想学生有一定的数学素养，在教学中常常很多知识舍不得放弃，又没能找到创新的角度进行整合性教学，往往低效.

我们知道，当下市场上的教辅资料层次不齐，随手翻阅各种教辅，很多问题雷同，有些问题并不适合各省考纲，学生在题海中耗时耗力，得不偿失.而精挑细选的优秀的数学试题却与众不同，这些试题凝聚了扎实的数学双基，又融入了数学思想，用已故特级教师孙维刚先生的话：“我给学生做题，首先自己要做十道题，然后从其中挑选一道题给学生，只有有选择的才是有针对性的.”笔者认为，在试题泛滥的今天，我们应该选择有针对性的问题针对性的教学，用研究式的眼光与学生共同分析数学知识和思想方法，让其真正在课堂复习教学中受益.

一、概念复习的高效性

数学概念是应试考查的重点和难点，而概念复习一直是教师教学的短板.从大量复习课教学现状来看，笔者发现一些有趣的现象，教师对于知识的复习往往仅限于教辅资料上的试题，换句话说教辅资料给什么问题教师就教什么问题.这种做法显然是低效和无针对性的.这里笔者例举两个不同层次的概念复习是如何设计的，首先举一个高一新知复习教学的试题选择设计：

案例1函数奇偶性新知复习设计.

奇偶性是函数的重要性质，对高一新生而言，其对于奇偶性的认知往往仅限于两个层面，即重要的代数表达式及图像对称性.但是学生对这一概念足够掌握了吗？概念的理解真正入木三分了吗？显然不是的，因为函数模型出现了如分段函数、抽象函数等，学生对于这一概念的理解并不到位.笔者为此选择了合理的试题层次性，在复习教学中展示了奇偶性复习的高效性.

试题选择一：①f（x）=2x3+x，x∈R；

②f（x）=2x2+1，x∈［-2.2］；

③f（x）=x2-1，x∈［-2，2）；

④f（x）=x3-x，x∈（0，+∞）.

意图：首先回顾奇偶性最本质、最初的概念属性，如何判断基本初等函数的奇偶性？定义域是首先要考虑的原则，其次是概念的代数属性运用：f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），以及几何属性入手判断.

②f（x）=|x-2|+|x+2|；

③f（x）=2|x-2|-|x+2|；

意图：很明显，随着概念初次复习，其头脑中有了初步判别方式，因此试题选择从简单的复合函数入手设计，从新的稍难的函数模型中运用概念，达到函数奇偶性复习的更高境界.

试题选择三：①f（x）=g（4+x）+g（4-x）（x∈R）；

意图：试题选择的第三个层次，是选择了以抽象函数和分段函数的模型，这里我们知道，学生往往在这两种模型中使用奇偶性定义的能力是极弱的，归根到底是定义还不能完全理解.分段函数首先需要验证定义域的

对称性，其次考虑其代数属性f（-x）是否等于f（x）或-f（x）；分段函数，很多学生错误率更高的函数模型，归根到底是无法正确辨别代数属性中解析式使用的正确性.简要分析如下：

①它具有对称性，因为f（-x）=g（4-x）+g（4+x）=f（x），所以f（x）是偶函数，不是奇函数.

综上可知，在（-∞，0）∪（0，+∞）上g（x）是奇函数.案例2高三函数概念复习设计.

函数概念是中学数学最重要的概念.但是高三函数概念的复习却并没有很好的层次性，笔者设计不同层次性的试题来提高复习的高效性.

试题选择一：（1）M=R，N=R+，法则f：x→x0，是否是函数？

（2）图1和图2中的函数满足（1）中的函数关系吗？

图1

图2

意图：函数概念的代数属性考查.

试题选择二：存在对应法则f满足，对任意x∈R都有____________.

（1）f（x2+4x）=|x+2|；（2）f（x2-1）=x2+x；（3）f（x2-4x）= x2+4x；（4）f（x2+1）=|x-1|.

意图：考查函数更本质的含义.很多学生对于函数概念的理解停留在第一层次，即试题选择一的问题类型，当问题变量呈现复杂状态，学生就不能清楚地理解自变量所指，以本问题中的第（2）问为例，令x=±1，显然f（0）= 2或f（0）=0与概念矛盾，其余类似可理解.显然函数概念的选题和设计立足教材、又明显高于教材！成为函数概念复习的优秀试题，优化了学生函数概念的本质认知.

二、一题多解的有效性

复习教学离不开解题，更离不开中学数学的优良传统——一题多解.这是数学教学将知识高效复习的一种优良传统.选择怎么样的试题才会有这种功效呢？笔者认为，一般在课堂复习教学中选择高考真题效果比较好.高考真题是多位专家历经多次打磨出的数学好题，其必须具备知识考查的多角度性、解法的多样性、思维的广阔性，相比一般的模拟试题，其在知识使用的广度、运算难度都是拿捏得恰到好处，成为试题选择和高效课堂的良好切入点.

图3

例题如图3，设F1，F2分别为椭圆+y2=1的

本题是浙江高考压轴填空题，也是近年来一道极为精妙的解析几何小题.以本题作为解析几何小题的典型，在复习教学中给以呈现，是高效课堂的良好体现.

分析1：我们发现本题条件简单，题意也是言简意赅，但是从图中一分析，学生发现一个最为困难的问题，即F1、A和F2、B四点不共线，教学中常常说的直线和圆锥曲线位置关系中的“设而不求”思想无从下手！因此很多学生是这么入手的：设直线AF1的斜率为k（k＞0），则直线AF1的方程为y=k（x+），联立椭圆x2+3y2=3，得（1+ 3k2）x2+62x+6k2-3=0.到此处，学生基本停滞不前.笔者认为，学生最直接的思维也是值得教学关注的，因此教师继续引导学生：结合图3可知xA=，同理xB=.又因为，所，所以|F1A|=5|F2B|，得，此时xA=0，点A的坐标是（0，1）；同理，当k≤0时，点A的坐标是（0，-1）.很明显，这样的方法选择是不利于思维培养的，过于简单的问题解决思维带来了大量的运算.

图4

分析2：我们要思考，为什么这样言简意赅的问题会成为高考压轴小题呢？如何将分析1中的四点不共线结合到解析

几何的设而不求思想呢？通过图形研究，我们发现这里涉及很重要的椭圆性质——对称性！只需要利用椭圆对称性将F2B对称到图4中F1B1位置，可得|F1A|=5|F1B1|，设而不求的思想跃然纸上！不妨设直线AF1与椭圆的另一个交点为B1，设点A的坐标为（x1，y1），点B1的坐标为（x2，y2），由及椭圆对称性，可得|F1A|=5|F1B1|，得y1=-5y2.设直线AF1的方程为x=ty-，联立椭圆+y2=1，得，由韦达定理得y1+y2=因为y1=-5y2，所以，即，得y1=±1.故点A的坐标是（0，±1）.显然，这应该是问题考查的真正意图.椭圆对称性的利用让问题的解决回归到学生熟悉的层面，高考真题的选择让椭圆几何性质对称性的复习入木三分！

总之，试题选择设计的优良影响着复习教学的效率.笔者从试题选择和复习教学是否高效有效的角度思考了三个问题：第一，复习教学我们是否真正重视过试题的选择性？这种选择是为了更有效的教学，从当下不少无针对性的题海训练来看，我们合理地选择试题是否可以成为常态化？第二，好的试题给学生带来的不仅仅是数学知识运用的综合性，更是一种美感，如本文中椭圆优美的对称性，因此我们是否足够细致地研究了高考真题？第三，教学需要不断的研究和与时俱进，我们总在用以往的经验和眼光进行复习教学，是否教师也该思考复习教学如何推陈出新？带着这样的问题，恳请读者继续批评指正.

1.黄严生，束从武.例谈“问思”教学法［J］.中学数学教学，2013（1）.

2.周立志.巧用课堂教学中的典型错误提升课堂效率的若干策略［J］.中学数学教研，2013（4）.

3.殷伟康.数学课堂教学中追问的特征与时机［J］.数学教学研究，2013（1）.F