广西大学附属中学 芦英峰

初中数学最短路径问题的探究与延伸

广西大学附属中学 芦英峰

题目：（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）

一、审题分析

本题属于最短路径问题，学生比较陌生，对题目的理解难度比较大，首先引导学生通过多次读题理解题意：已知A、B两地在一条河的两岸，且河的两岸可以看成是平行的直线，则可画出两条平行的直线a和b，点A和点B是定点，分别位于两直线的两侧。现要建一座桥MN，要求桥与河垂直，即线段MN与直线a，b垂直。所要求的问题是桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短，即线段MN位于何处时，可使AM+MN+NB最小，从而将实际问题转化为数学问题，如图1所示。

图1

二、探究过程

1.探究线段MN的大致位置：学生在自主探究时，根据两点之间，线段最短，容易想到连接AB分别交直线a，b于M和N两点，则线段MN即为所求。如图2所示，引导学生思考这种作法是否可行，从而发现与题目中的条件“桥与河垂直”相矛盾。

图2

2.探究线段MN的准确位置。

引导学生复习前面学过的求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小问题，已知A、B两个定点分别位于一条直线l的两侧，要在直线上找到一点使得它到这两个定点的距离之和最小，根据两点之间，线段最短，连接AB与直线l交于一点，即为所求。引导学生对比本题，思考能否通过某种途径将直线a和直线b重合在一起，从而将“两线两点”问题转化成“一线两点”问题，学生会想到利用平移的方法，从而得到作图思路。……