孙仕海

摘要：熵是信息论中一个十分重要的概念，能够用于刻画信源的平均信息量。但和经典信息论中的香农熵不一样，量子信息中信源的不确定性需要使用von Neumann熵来进行刻画。同时，von Neumann熵在纠缠判别、纠缠度刻画等方面也具有十分重要的地位。因此，我们希望通过本文对von Neumann熵的性质进行介绍，能够帮助研究生更好地掌握该概念。

关键词：量子信息;von Neumann熵;信息论

中图分类号：G642.0    文献标志码：A    文章编号：1674-9324（2016）43-0279-02

一、定义

設一个量子系统的状态由密度算子

=pi|ψ〉〈ψ|（1）

其中，pi≥0，pi=1，|ψ〉是系统空间内的纯态。但此处需要注意的是不同的|ψ〉不一定相互正交。因此，可以定义这个系统的von Neumann熵为

S（ρ）=-trρlogρ（2）

如果不同的|ψ〉互相正交（不失一般性可以假设其已经归一化），那么von Neumann熵可以写为

S（ρ）=-〈ψm|ρlogρ|ψm〉（3）

对方程（3）进一步的推导后可以得到如下的表达式

S（ρ）=-〈ψm|pi|ψiδin〈ψn|logpj|ψj〉δjm

=-〈ψm|pn|ψn〉〈ψn|logpm|ψm〉

=-pmlogpm（4）

其中pm为密度算子的本征值。

从von Neumann熵的定义可以看出，其和经典信息论中的香农熵具有相类似的含义，能够用于定量分析信源的平均信息量，是忠实传送信源编码态所需要的最小信道量子位数目。同时，从公式（4）可以看出，当量子态处于完全混合态时（此时|ψi〉互相正交），von Neumann熵退化为香农熵。

二、基本性质

1.非负性。

S（ρ）=-trρlogρ≥0（5）

其中，当且仅当量子系统处于纯态时等号成立。该性质十分明显，而且证明过程十分简单，在此就不进行证明。讲解时可以作为练习让学生自己推导。

2.von Neumann熵在幺正变换下不变，即

S（UPU-1）=S（ρ）（6）

3.如果量子系统ρ存在M个非零的本征值，那么

有S（ρ）≤logM（7）

当且仅当所有非零本征值都相等时等号成立。

4.对于复合系统AB而言，如何系统处于纯态，那么必然有S（A）=S（B）（8）