李春梅，段雪峰，彭振赟，江祝灵

（桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西 桂林　541004）

一类广义Lyapunov矩阵方程的正定解

李春梅，段雪峰，彭振赟，江祝灵

（桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西 桂林541004）

研究了双线性系统中的一类广义Lyapunov矩阵方程的正定解.基于混合单调算子不动点定理，给出新的存在正定解的充分条件，构造了求其正定解的不动点迭代方法，并给出了迭代误差估计公式.数值实验表明新方法是可行的.

广义Lyapunov矩阵方程；双线性系统；正定解；充分条件；迭代方法

1　引言

本文研究如下广义Lyapunov矩阵方程：

的正定解，其中A，N1，N2，···，Nm是n×n阶实矩阵，Q是n×n阶对称正定矩阵.令

则双线性系统

的可达格拉姆矩阵P就是广义Lyapunov矩阵方程（1.1）的正定解，其中Q=BBT.因此，广义Lyapunov矩阵方程（1.1）的正定解在双线性系统的可达格拉姆矩阵的计算中起着重要作用，详见文献［1-3］.

自从上个世纪开始，人们对标准的Lyapunov矩阵方程（即矩阵方程（1.1）在m=0时的情形）进行了系统深入的研究，发展了许多有效的数值方法.这些迭代方法主要分为直接法和迭代法两大类，直接法主要利用矩阵分解、分块技术，矩阵广义逆和矩阵直积给出解析解的方法，比如：Bartels-Stewart方法［4］，Hammarling方法［5］等，而迭代方法（如：Krylov子空间方法［6］，ADI方法［7］，矩阵符号函数法［8］和保结构算法［910］）主要是建立某种迭代格式，让迭代格式产生的序列收敛于Lyapunov矩阵方程的解.然而广义Lyapunov矩阵方程（1.1）在m≥1时的可解性理论和数值方法相对比较少，其主要原因是矩阵方程（1.1）的结构比较复……