庞梅

[摘 要] 本文首先借用直线y=x从几何角度对等差、等比数列下定义，然后在此基础上就“不动点求解递推数列y=x相关问题”之思维本源做了系列探索，实现了追根索源，得到了重要结论，对递推数列的教学有一定的指导作用.

[关键词] 不动点；递推数列；本源探索

在高中数列的教学中常借用不动点来求解递推数列问题，学生就其思维本源会提出许多疑问. 对此，笔者想以an+1=（c≠0，ad-bc≠0）n∈N+为例就借不动点求解递推数列问题之思维本源做一些探索，以期能解答学生的疑惑，启发师生对此类问题的再思考.

用直线y=x定义等差数列和等比数列是不动点求解递推数列问题之奠基石

1. 借用直线y=x定义等差数列

定义1：由等差数列递推式an+1=an+d（n∈N+，常数d∈R）可知，点P（an，an+1）是分布在直线y=x+d上的一组点，于是借用y=x可得等差数列的几何定义：当n∈N+时，如果点（an，an+1）分布在与y=x平行或重合的直线上，则数列{an}（n∈N+）是等差数列，其公差d为该直线在y轴上的截距.

2. 借用直线y=x定义等比数列

定义2：由递推式an+1=qan（n∈N+常数q≠0）可知，P（an，an+1）是分布在直线y=qx（q∈R且q≠0）上的一组点，此时可得等比数列的几何定义：当n∈N+时，如果点（an，an+1）是分布在与y=x重合或与之相交于直角坐标系原点的直线（不含x轴和y轴）上，则该数列{an}是等比数列，公比q（q≠0）为该直线的斜率.

3. 提出问题

从上面等差数列和等比数列的几何定义可以看出，当P（an，an+1）（n∈N+）分布在直线y=x上时，数列{an}既是等差数列，又是等比数列；当P（an，an+1）是分布与直线y=x平行的直线y=x+d（d≠0）上时，数列{an}是非等比的等差数列；当P（an，an+1）是分布与y=x相交于坐标原点的直线……