张　冕， 刘庆丰

（阜阳师范学院 a.数学与统计学院；b.附属中学，安徽 阜阳 236037）

多元函数中值定理推论的一个简化证明

张冕a， 刘庆丰b

（阜阳师范学院 a.数学与统计学院；b.附属中学，安徽 阜阳 236037）

利用方向导数的性质，对相关问题尝试进行综合分析，给出二元函数中值定理推论的一个简化的证明方法，并将其推广到多元函数的情形，同时提出教学建议。

方向导数；中值定理；推论；常值函数

函数中值定理是函数微分学中重要的内容之一。利用一元函数的中值定理的结论，我们可以得到一个重要的推论，即若 f'（x）=0，x∈I，则 f（x）在I上为常值函数。同样，在二元函数微分学中，也有类似的结论。即：

若函数 f（x，y）在区域D⊂R2上的偏导数恒为零，那么它在D上必是常值函数。

目前，在一些数学分析教材中，都给出了关于此命题的证明，但这些证明除了运用二元函数的中值定理的结论之外，还需要用到有限覆盖定理的知识，证明过程相对复杂，学生也不易理解和接受。笔者在进行这一部分内容的教学中，对教材中基本定理，包括课后习题的相关问题进行综合分析，提出了一个与传统证明方法完全不同的简单证明方法，优化了相关课程内容的教学，提高了教学效率，同时让学生从中感受到数学创新的乐趣，从而提高学生的学习能力。

1　中值定理推论的简化证明及教学研究

1.1两个引理

为了使学生更加清晰的理解和掌握定理的证明，我们首先证明如下两个引理。

引理1设函数 f（x，y）可微，l是R2上一个确定的向量。……