张开银， 孙娓娓，侯雪松， 王秋玲

（阜阳师范学院 a.物理与电子工程学院；b.数学与统计学院，安徽阜阳 236037）

在电子信息专业高等数学的教学中引入课堂实验的实践

张开银a， 孙娓娓b，侯雪松a， 王秋玲a

（阜阳师范学院 a.物理与电子工程学院；b.数学与统计学院，安徽阜阳 236037）

文章以电子信息学专业高等数学的教学为例，探讨结合学生的专业背景引入一定的课堂演示实验，将抽象的数学知识生动化和直观化。本文以傅里叶级数为例，研究了引入课堂实验的作用，并针对高等数学中的几个常见学生不容易理解的抽象知识点，介绍了一些可行的实验设计思路。试验发现引入课堂实验能很好地提高学生对数学的学习兴趣，也可以增强学生对数学在电子信息科学中应用价值的认识，从而提升高等数学的教学质量。

高等数学；课堂演示实验；电子专业

高等数学是理工科院校必修的基础理论课。它为后续专业知识的学习提供必要的数学工具的同时，也在培养学生的逻辑思维能力，因此对创新型和知识型人才的培养发挥着巨大的作用。为了提高教学质量，教育工作者做了大量的研究工作，提出了很多改革措施［1-7］。在针对电子信息学专业的高等数学教学实践中，笔者发现下面三个问题比较突出：（1）高等数学教材大都都是兼顾多种学科专业的教学，所以缺乏对特定专业的针对性，比如在大部分教材中给出的与电子学专业相关的例题或习题比较少；（2）在课堂教学过程中，受到教学课时等诸多因素的限制，教师比较注重对概念的讲解，对重要知识点在学生后续专业学习中的应用重视不够；（3）高等数学知识比较抽象，对相关概念抽象理解要求较高。上述三个方面容易导致学生对高等数学的应用性认识不足，影响后续专业课程的学习。教学中如果能结合学生的专业特点，师生共同参与设计、制作一些与教学内容相关的物理和电子方面的演示实验，与课堂教学结合随堂演示，将能有效提升课堂教学的效果。

演示实验是教师利用课堂时间为学生演示，在操作的同时又引导学生对实验进行观察、思考和分析的一种实验教学方式。它在物理学、化学和生物学的课堂教学中被广泛采用。在高等数学教学中，课堂演示实验一般采用仿真模拟的方法，比如使用Matlab和Mathematica软件包，将重要知识点通过图片或动画的形式使用多媒体呈现。数学实验可以提高学生利用计算机求解数学模型的能力，提高学生学数学、用数学的积极性［8，9］。但是缺乏有针对性的、学生体验感较强的课堂实验。

高等数学教学中，一个比较突出的问题在于讲授级数尤其是傅里叶级数的时候，普遍将比较简单的函数做级数展开，比如将方波或三角波函数展开成傅立叶级数。将简单的函数做级数展开的例题虽然计算简单，却很容易使学生感到困惑。有些学生会问为什么把这些看似简单的函数展开成复杂的级数。如果能针对学生的困惑，设计一个简单直观的课堂演示实验，向学生展示傅里叶级数在分析声波频谱方面的应用，则会使他们直观地体验傅立叶级数的重要应用，也可体会电子信息科学在生产生活中的重要性。本文以傅里叶级数的教学为例，探讨根据学生的专业特点引入课堂实验对教学效果的提升。

1　傅里叶级数课堂演示实验装置

根据文献资料，本文设计了一套简单的课堂演示实验装置来展示傅立叶级数的重要应用［10，11］，如图1所示。主要由麦克风、计算机、数据采集卡、程控电灯等组成。该实验装置既可以向学生展示每个试验人员时域和频域的声波，又可以直观的演示傅里叶变换对声波的处理分析及利用。

2　实验及数据分析

2.1因人而异的声波的测量及其频谱比较

首先在备课阶段记录一段分别由一位成年男士和一位小男孩发出的汉语韵母‘a'在时域里的语音波形，如图2所示。在课堂讲授傅立叶级数的时候，向学生展示并请学生定性地区别两者之间的不同之处。

图1　实验示意图

图2　年龄不同的男性发出的汉语韵母‘a’的声波波形

利用Matlab软件中傅立叶变换函数fft将这两个波形分别做傅立叶变换，给出各个波形中的频率成分及各个频率在声波中的比重，获得它们的频谱特征图。在课堂上请学生定量地研究两个声波之间的相似之处和不同之处。尽管图2中两者的时域波形具有较大的相似性，但是傅立叶变换后两者的不同之处就很容易地呈现出来。如图3所示，可以明显地看出成年男性的音频主要是低频成分，高频成分较少，而在小男孩的音频中高频成分相对较多。通过这个示例可以使学生初步认识傅立叶级数的重要作用。

图3　声波的频谱图

然后在课堂上请几位学生亲身体验语音信号的记录和傅里叶级数应用的乐趣。图4给出了A 和B两个学生在不同时间记录的他们各自发出的韵母‘a'在时域里的语音信号。从中可以看出同一个人在不同时间发出的语音信号基本相同，然而不同的人发出的语音信号存在明显的差异。这种差异在图5给出的傅立叶变换中显得更加清晰。图5给出了图4中相应声波信号的傅立叶变换数据，从中可以明显看出傅里叶变换能定量地告诉我们各个频谱成分的比重等信息。傅立叶变换的结果表明不同的人具有不同的语音特性，语音具有与指纹相似的独特性，可以用来表征不同人的个体特征。

图4　时域内记录A和B两个学生发出韵母‘a’的语音信号

图5　对应上图学生A和学生B语音信号的傅立叶变换

2.2声波密码钥匙的演示实验

为了使学生能更深入地认识傅立叶变换的应用，本文尝试在课堂中引入基于特征语音的密码开关试验。在课堂上，先提取某个同学（比如同学A）的特征语音参数，在本试验中我们简单地选择该同学的频谱参数作为示例，将其存入电脑作为电灯开关的密码钥匙。当被测人的语音特征与密码钥匙的语音特征在允许的误差范围内匹配时，电脑会向电灯开关发送一个打开电脑开关的指令，否则电脑就给出显示密码错误信息，而且打不开电灯开关。在课堂上请多位同学分别尝试用自己的语音打开电灯开关，试验表明只有当持有密码特征的同学才可以打开电灯开关，其他同学根本无法打开电灯开关的。另外，我们发现持有密码特征的同学打开电灯的几率约为80%。这是由于该试验只是一个简单的演示试验，密码特种数据库及匹配算法比较粗糙的缘故，进一步的改进能有效地提高本试验成功的几率。

笔者课后调查发现，与教材中对三角波或方波等简单函数的傅立叶变换相比较，采用生活中的实例进行傅立叶分析的方法使教学内容生动有趣，能比较容易地被学生接受。我们的初步研究表明，结合学生的专业特点，引导学生亲自动手制作一些简单而直观的课堂演示实验，即能使学生能深刻地感受数学知识在实际学习和生活中的重要应用，又能明显增强他们的学习兴趣，提高学习目的性。

3　其他知识点演示实验的设计思路

针对电子信息专业的学生特点，并结合我们的产学研项目，我们在教学中可以尝试引入一些物理和电子课堂实验，在实验设计、制作、操作上让学生积极参与，教师和学生共同讨论，激发学生的学习兴趣。比如，在用ε-δ讲述函数极限的时候，学生对于变量p→p0及相应的 f（p）→A的动态过程普遍感到迷惑。这时如果能够提供一种动态演示极限过程的课堂试验，将抽象的极限过程在一定程度上可视化，将有助于提高学生对极限概念的理解。又如，在讲授三重积分中的投影法和截面法的时候，缺少一种能帮助学生提高空间想象力的直观实验。考虑到学生电子信息学的专业背景，可以制作三维LED点阵组成的立体发光演示仪。通过计算机软件控制点阵中特定组合的一系列LED点阵发光，既能分别演示p→p0及相应的 f（p）→A的极限过程，又能直观形象地展示三重积分时的投影法和截面法的区别。在讲解常微分方程时，比如常系数齐次线性微分方程，多数教材都会以求解弹簧振子的运动为例，并讨论各种阻尼振动的情况。但是电子专业的学生由于其专业特点，对弹簧振子的动力学过程了解较少。因此可以设计一个使学生感兴趣的弹簧振子实验。在悬挂的物体上安装一个发光二极管，在靠近弹簧振子的地方，放置一个线阵光敏传感器，通过记录发光二极管随时间在空间的变化过程，记录弹簧振子的振动情况。通过记录不同弹性系数的弹簧振子的运动，并与数学解析解的结果进行比较，使学生可以直观地认识弹簧振子的多种阻尼运动。

4　结论

针对电子信息科学专业高等数学的教学中存在的难点，本文以傅里叶级数的教学为例，尝试结合学生的专业特点，通过师生共同参与设计制作简单而有趣的课堂演示实验，将抽象的数学内容具体化。这样可以使学生切实体高等数学的应用价值，增强高等数学的学习兴趣和主动性，并提高学生应用数学知识分析和解决实际问题的能力。在此基础上，本文还提出一些其他演示试验的设计思路。本文所提出的课堂实验或实践方法对其他学科专业高等数学的教学也具有一定的启发意义。通过实验或者实践提高学生的学习兴趣，可以显著提升教学效果，达到事半功倍的良好效果。

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Effects of demonstration experiments on the advanced calculus teaching for electronics students

ZHANG Kai-yina，SUN Wei-weib，HOU Xue-songa，WANG Qiu-linga

（a.School of Physics and Electronics；b.School of Mathematics and Statistics，Fuyang Normal University，Fuyang Anhui 236037，China）

This paper investigates the effects of applying demonstration experiments on the advanced mathematics teaching for electronics students.For the knowledge is hard to understand，it presents a few feasible experimental designs.Taking Fourier transformation as an example，our results prove that the introduction of classroom experiments can improve the students'mathematical learning interest and enhance their understanding of mathematics applications in electronics science.As a result，it enhances the teaching quality of advanced calculus.

advanced calculus；demonstration experiment；electronics

O13

A

1004-4329（2016）01-113-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）01-113-04

2014-12-03

安徽省科技厅对外科技合作项目（1403062027）；安徽省质量工程项目（2014zy047）；阜阳师范学院质量工程项目（2013ZYJS04，2014JXTD01，2014JXTD05，2014JYXM48）资助。

张开银（1973-），男，博士，副教授，研究方向：光电子技术、材料物理学。