曲靖师范学院数学与信息科学学院 马 丽



自同构群阶为8p12p22…pn2的有限幂零群

曲靖师范学院数学与信息科学学院 马 丽

有限群G的结构是群论研究的热点。本文讨论自同构群的阶为8p12p22…pn2的有限群，并得到它们的同构分类。

自同构群 循环群 幂零群

Iyer证明了对于给定有限群G至多包含有限个X满足方程Aut（G）=X，同样的结论对方程Aut（G）=n（n为任意固定的正整数）成立。 Machale和Flannery提出|Aut（G）|=pn（1≤n≤4）及pq有限群的构造，并证明了不存在自同构群阶为p5、p6、p7的交换群（p为奇素数）。陈贵云提出自同构群的阶为p1p2…pn和pq2的有限群的构造。李世荣教授解决了自同构群阶为p2q2的有限群的分类。杜妮和李世荣教授给出自同构群阶为满足4pq的有限群的分类。其中，陈贵云教授等人给出了自同构群的阶为4p1p2…pn的有限群的完全分类。

以此为基础，本文的主要目的是讨论具有8p12p22…pn2阶自同构群结构，给出满足此条件的有限幂零群的同构分类。

本文考虑的群均为有限群，所有未经说明的记号和术语都是标准的。另外，Zn表示n阶循环群，Zp×Zp表示p2阶初等交换p-群。

一、预备引理

引理1.1：设G为pn阶初等交换p群， 则|Aut（G）|=|Gl（n，p）|=（pn-1）（pn-p）…（pn-pn-1）。

引理 1.2：设G为pn阶循环群， 则|Aut（G）|=pn-1（p-1）。

引理 1.3：设G=G1×G2×…×Gn，其中（Gi，Gj）=1（i≠j），则。

引理 1.4： 设P是一个非循环p群，|p|〉p2. 若|p/z（p）|≥p4，则|P|||Aut（p）| p2。

引理 1.5： 设P是m阶幂零群，m=2ap1a1p2a2…pnan，p1〈p2〈…〈pn是奇素数，a＞0，ai＞1。若群G的Sylow-pi-子群循环，Sylow-2-子群循环或同构于Z2×Z2. 则2n||Aut（G）|，且当a＞1时，2a+n-1||Aut（G）|。

二、主要结果及其证明

假设G是幂零群，且|Aut（G）|=8p12p22…pn2，则有G= T×Q1×Q2×…×Qs，其中T为G的Sylow-2-子群，Qi为G的Sylow-qi-子群，q1、q1、…qs是|G|的所有不同的素因子。由引理1.3知：|，即|。

令|T|=2m，|Qi|=qini，则有下面两个引理：

引理2.1 Qi循环且ni≤3（i-1，2，…s）。

证明：若存在某个Qi非循环，不妨假设Q1非循环，则Q1≥q12。如果|Q1|=q12，则Q1=Zq1×Zq1。由引理1.1可以知道，|Aut（Q1）|=|GL（2，q1）|=q1（q1+1）（q1-1）2。……