程　昀，韩晶晶，昌晓旭，何　聪,袁　伟

(1.江西理工大学 建筑与测绘工程学院，江西 赣州 341000；2.贺州学院 建筑工程学院，广西 贺州 542899)



基于相关多点人工合成方法的地震动时程拟合

程昀1，韩晶晶2，昌晓旭1，何聪1,袁伟1

(1.江西理工大学 建筑与测绘工程学院，江西 赣州 341000；2.贺州学院 建筑工程学院，广西 贺州 542899)

在现有研究基础上，给出一种空间相关多点地震动加速度时程拟合方法。通过对互功率谱密度矩阵进行转化得到实对称正定矩阵，对该实对称正定矩阵进行乔里斯基进行分解，利用分解结果来表达地震动时程合成公式的幅值和相位角，从而拟合地震动时程。由于整个过程只需要对实对称正定矩阵分解，避免了复数矩阵的乔里斯基分解，大大减小了运算量。通过MATLAB编制相关程序验证了该方法的可行性。

空间相关；多点地震动；互功率谱；迟滞相干函数；乔里斯基分解

地震对人类带来很大的破坏作用。如何增强结构抗御地震灾害的能力，早在20世纪30年代初，美

国首先提出了反应谱概念[1]，中国自20世纪50年代中期开始逐渐在抗震结构设计中采用反应谱理论。近年来建筑科学技术不断快速发展，特别是随着大跨度结构的广泛建造以及一些重要大型复杂结构(如核电站、桥梁和水坝等)的抗震设计,地震动的空间变化对大跨结构的抗震性能影响，也越来越受到专家学者[2-6]的关注。基于地震动在传播过程中需要穿过复杂的地质条件环境[7-8]，到达不同空间点的速度、耗时及幅值也存在差异，而且大型结构的抗震设计需要满足特定环境下场地条件的地震动输入，如果仍然选用一点地震动输入，结果的准确度很难保证。因此，空间相关多点的地震动时程拟合就显得至关重要。

对于空间相关多点地震动模拟，国内外已有较多研究[9-16]。基于一点地震动时程理论，Hao[8]首先提出了多点地震动时程合成方法，通过对地震动功率谱矩阵进行乔里斯基分解，得到不同频率分量的幅值和相位与功率谱矩阵分解值之间的关系，进而得到各点的地震动时程。在此基础上，屈铁军等[9-10]研究考虑了每一点与其它所有点的相关性，减小了各点合成公式的差异。杨庆山等[12]引入了相位差谱，用满足统计规律的相位角代替随机相位角，同时考虑了多点地震动的非平稳性。董汝博等[13]为了保证局部场地上的收敛性，修正了随机相位角，并分析了未知和已知相位差谱统计规律的情况，给出了非平稳多点地震动的合成方法。刘志明等[14]修正了初始波使其反应谱与规范反应谱较好拟合。

本文基于屈铁军模型[15]，进一步对互功率谱密度矩阵进行转化，提出一种拟合空间相关多点地震动的方法,最后利用MATLAB编程验证其可行性。

1　多点地震动功率谱及简化

1.1功率谱[1]

地震动是个典型的随机过程，平稳随机过程的一个比较方便、简单的描述方式，就是功率谱。地震功率谱是将地震动视为平稳随机过程时在频域的描述形式，它表征地震动的能量在各频段内分布的相对关系。

1.2相关理论分析

一般情况下,建筑物尺寸一定时，各点间的自功率谱密度相差不大,假设所有P个点的地震动功率谱密度都相同，且为G0(ω)，m点和n点的相干函数为γmn(iω)，则多点地震动功率谱矩阵：

(1)

现有方法运算过程中，直接对式(1)进行乔里斯基分解[11-13]：

G(iω)=H(iω)H(iω)*G0(ω)

(2)

其中

(3)

符号“*”表示共轭转置，由此得到各点地震动时程不同频率点ω处的幅值aim(ω)及相位θim(ω) 与加速度互谱密度矩阵分解值的关系：

(4)

1.3拟选用功率谱

基于上述理论分析研究，拟选用由欧进萍[16-18]等人修正的改进金井清模型作为目标功率谱：

(5)

式中：ωγ表示基岩特性的谱参数，取8π；ζg，ωg表示地表土层阻尼比和固有圆频率；g0是反映地震动强弱程度的谱强度因子。

1.4地震动相干函数

对于大跨度建筑来讲，不仅要考虑多点输入的行波效应，还需要考虑这两点之间的不相干效应和局部场地效应，则地震动相干函数为：

(6)

式中：ω表示地震动频率；|γmn(iω)|表示迟滞相干函数，依赖于频率和空间距离，描述两点地震动不相干效应，且当m=n时，γmn(iω)=1；γmn(iω)=1;βmn(ω)表示两点间的相位角；dmn表示传播方向上两测点间的投影距离；Va表示视波速，地震行波效应的重要参数，工程应用中多取为常数[13]；式(2)中第二部分描述的是行波效应，局部场地效应在不同测点各自的功率谱密度函数G0(ω)中体现。

1.5多点地震动功率谱简化

假设地面各点参照某一点(可设为震源)的运动时间差分别为T1,T2,…,TP,则有[19]:

(7)

则表示地面各点加速度互功率谱密度矩阵式可转化为：

G(iω)=E(iω)*R(ω)E(iω)G0(ω)

(8)

其中

E(iω)=diag[e-iωT1e-iωT2…e-iωTp]

(9)

(10)

式中：|γmm(iω)|=1，γmn(iω)(m,n=1,2…P)为依赖于频率和空间距离的迟滞相干函数。符号“*” 表示共轭转置，R(ω)为一实对称正定矩阵[20]，将其分解为一个下三角形矩阵和它的转置的乘积形式为：

R(ω)=Q(ω)Q(ω)T

(11)

其中

(12)

在这里只是对实对称正定矩阵R(ω)进行了乔里斯基分解得到下三角实矩阵Q(ω)：

q11(ω)=1,qm1(ω)=|γm1(ω)|/q11(ω)(m=2,3,…P)

(13)

求出下三角实矩阵Q(ω)的第一列元素的值，然后依次确定每列元素的值。假设已确定了第m-1元素的值，则第m列元素为：

(14)

(15)

改写为：

(16)

进而得到各点地震动时程不同频率点ω处的幅值aim(ω)及相位θim(ω)与加速度互谱密度矩阵分解值的关系：

(17)

式中：aim(ωn)及θim(ωn)分别表示第i点和第m点相关的第n个频率分量的幅值和相位角。

当各点的功率谱矩阵已知时，这些幅值和相位角都是定值，只需要满足第i点和第m点的相关性和相位特征。与原式相比，式(17)的运算量小很多。以上简化方法不仅考虑了一点与其他各点的相关性，还避免了复数矩阵的乔里斯基分解，大大减小了运算量，从而提高了计算效率。

2　多点地震动合成

2.1地震动合成公式

结合以上分析，取p点为例，可得其平稳地震动加速度时程公式：

(18)

式中：φn表示第1点的初始相位角，符合相位差谱的统计规律，且当m≠n时，φm与φn相互独立。

图1　简化方法的流程图

式(18)分析，dp/Va体现了第p点相对于原点的行波效应延时，说明在必要时刻可以单独分析行波效应。合成的任意一点的平稳地震动时程均考虑了该点与其他(p-1)个点的相关性。

由于地震动属于非平稳随机过程，其非平稳性表现在强度非平稳(时域)和频率非平稳(频域)两个方面。对于强度非平稳，工程中常将其视为均匀调制非平稳过程，表达上则表示为平稳过程与一个时间包络函数的乘积形式。此处采用人们广泛接受的包络函数[21]：

(19)

式中：t1、t2和c共同决定了f(t)，即地震波的形状。其中，t1和t2控制强震平稳段的首末时刻，c控制下降段衰减的快慢，文中参数t1、t2和c分别取 0.8 s、7 s和0.35。

2.2地震动合成流程

结合以上分析，将式(18)和式 (19)相乘即可得到多点相关的非平稳地震动加速度时程，多点地震动时程人工合成方法的流程图如图1所示。

3　算例分析

图2　地面投影点布置图

本文选用改进金井清模型作为目标功率谱，选择8度罕遇地震Ⅲ类场地第一组，一条直线上的3个点，地震波沿直线1～3传播，支点位置如图2。各谱参数具体取值为：g=0.8 cm/s2，g=4 cm/s2，g0=232.6 cm/s2。迟滞相干函数采用屈铁军模型，合成地震动持续时间设为20 s，视波速vapp=500 m/s。地震动强度包络函数中参数取值为：t1=4 s，t2=16 s，c=0.35。按照本文所述合成空间相关多点地震动的步骤，编制了相应的程序，拟合目标反应谱的多点地震动如图3、图4所示(限于篇幅，只给出两个点的图)。从波形上可看出每两个相邻点的加速度时程很相似，因为它们在波传播方向上的投影距离比较近，同时说明了合成的地震动具有空间相关性。合成地震波的反应谱与目标反应谱的对比图如图5、图6所示，很显然合成地震波的反应谱与目标谱非常接近。

图3　第1点的地震动加速度时程

图4　第2点的地震动加速度时程

图5　第1点的反应谱对比图

图6　第2点的反应谱对比

4　结　论

(1)依据地震波复杂的传播特点，本文在空间相关多点地震动加速度时程现有拟合方法的基础上进行深入研究，得到了多点地震动时程人工拟合的简化方法。

(2)多点地震动功率谱简化方法的原理简单，整个过程只需要对实对称正定矩阵分解，避免了复数矩阵的乔里斯基分解，大大减小了运算量。

(3)利用MATLAB编制相关程序进行了实际算例分析，结果表明，该简化方法拟合的地震动仍然保留了原方法合成地震动的空间相关性、非平稳性等优点。

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Ground motion time history matching based on correlation multipoint artificial synthesized method

CHENG Yun1，HAN Jing-jing2，CHANG Xiao-xu1，HE Cong1, YUAN Wei1

(1.School of Architectural and Surveying Engineering,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China;2.School of Civil Engineering,Hezhou University,Hezhou 542899,China)

A matching method is presented for spatial multipoint ground motions based on existing research.The method obtains the real positive symmetric matrices by the cross power spectral density matrix transformation,and then makes the Cholesky decomposition to the real positive matrices.By decomposition results,the amplitude and phase Angle of ground motion formula are expressed to fit the ground motion time history.The entire process decomposes only the real symmetric positive definite matrix,avoiding the Cholesky decomposition of plural matrix and reducing the calculation.Also a corresponding program has been compiled to verify the correctness of this method.

spatial correlation;multipoint ground motion;cross power spectral density;lagging coherency function;Cholesky decomposition

2016-03-01

国家自然科学基金(51664017)

程昀(1991—)，男，安徽阜阳人，硕士研究生。

1674-7046(2016)04-0013-06

10.14140/j.cnki.hncjxb.2016.04.003

TU31

A