浙江省德清县三合中心学校　沈国

一道填空题的高零分率引发的思考的再思考

原题:如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知正三角形ABC的边长为2,点A从点O开始沿x轴的正方向移动,点B在∠xOy的平分线上移动,则点C到原点O的最大距离是_________.

图1

图2

在文1中朱玉祥老师重点分析了该题的高零分率的原因,主要探究了该题的命题者是怎样一步步赋予它如此高的难度.朱老师从该题的"源头"梯子滑动问题开始,到变换角度求△AOB的最大面积,再到求一个顶点与原点的最大距离,最后变换到A、B两动点放在锐角的两边上滑动,清晰地展现了该题是如何一步一步变化过来的,难度是如何一点点上升的.笔者阅读之后受益匪浅,十分赞同朱老师的观点,作为一道填空题的压轴题,学生如果没有经历过这样一个试题改编的过程,不借助"梯子"是很难一步跨越的.

文1中原题的答案如下所示.

如图2,连接OC,交AB于E,当OC⊥AB时,OC有最大值(理由如题3).此时OC也平分AB,且∠ACE=30°.

设OA=OB=x,作BF⊥OA,垂足为F.

在Rt△BOF中,因为∠BOF=45°,所以BF=OB.sin45° =xX.在Rt△AFB中,因为AF2+BF2=AB2,所以

文1中的题3及其解题思路如下所示.

(2009.山东)如图3,已知边长为a的正三角形ABC,两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连接OC,则OC的长的最大值是_________.

图3

连接OC,取AB的中点E,连接CE、OE,如图3,显然OC≤OE+CE,而OE与CE的和是个定量,所以当A、B在滑动中使OC经过点E,也就是OC=OE+CE时,OC的长度最大.此时,△AOB为等腰直角三角形(面积最大),所以,而△ABC是等边三角形,AB=a,所以OC的最大值为

笔者阅读完原题的答案及题3的解题过……