浙江省舟山市普陀区教育局教研室

俞　凯　　(邮编：316100)



用好“三个一”讲好一道题

浙江省舟山市普陀区教育局教研室

俞凯(邮编：316100)

题不在多而在精，对选定的每一个例题深入钻研精益求精，站在系统的高度，时时注意寻找知识之间的联系.一题多解，一题多变，又要多题归一，从中寻求共性，总结思维规律，这才是解题教学的灵魂.

解题教学；一题多解；一题多变；多题归一

在数学解题教学中，重视“以例及类”，关注基本思路的获得以及解题经验的运用，站在知识系统的角度看问题，力求“一题多解，一题多变，多题归一”．善于用“普遍联系”的观点思考问题，启发学生思维，从而达到融会贯通和触类旁通的效果．

1　一题多解——发现与总结思维规律

一题多解的实质是解题或证题以不同的方式反映条件与结论之间的本质联系，从不同的角度，不同的方位思考问题，探求不同的解答方案，从而达到拓宽思路，使思维向多方向发散，有利于理清各知识间的联系．

本题作为选择题的最后一题，“简约”而不简单，有难度，知识综合性强，能力要求高；突出核心知识、思想和方法的考查．

1.1从“分解题目条件”出发，降低解题难度

解题是分化困难因素，分解讨论，有时可先解决一部分的过程．

首先，从条件来看，如图2，

(1)⊙P的圆心是(3，a)，半径为3，故圆心P到y轴的距离PO等于半径，⊙P与y轴相切；

(2)函数y=x的图象与x轴、y轴的夹角都为45°，即∠DOB=45°

其次，从结果来看，求点P的纵坐标，即求OD的长．

1.2从“基本图形”分解中,探索解题方向

在对题目的分析过程中，首先从几何直观出发回忆已经解决的问题，以期从中获得启发.于是我们想到“基本图形”，在基本图形的分解中分析问题．

(1)向外补形——将问题转化为直角三角形问题

(2)向内分割——将问题转化为平行四边形和直角三角形问题

解法2如图4，过点P作PF∥OE，交y轴于点F，得Rt△PDF和直角梯形PEOF，再过点P作PG∥OD交OE于点G．则四边形ODPE被分割为平行四边形PFOG和Rt△PDF、Rt△PGE．解Rt△PDF、Rt△PGE即可．

(3)“割”、“补”结合——将问题转化为矩形和直角三角形问题

解法3如图5，过点 P作PC∥OD，交x轴、OE于点C、F，则四边形OCPD为矩形，问题转化为解Rt△PEF、Rt△OCF．

(4)“交轨法”

从点P到直线y=x的距离等于1出发，想到与y=x平行的两条直线，求这个交点．

本题解法颇多，探究自然顺畅.其实，利用“割”、“补”结合与交轨法最简单，且有较高的教学价值．若将题目稍改变条件，就能挖掘出许多新的题目．

2　一题多变——寻求联系与归纳共性

以原题为基本题型，适当改变条件，或提出另一形式的问题．从而得到既与原题相类似，又不失联系的新问题，予以求解．这样的变式教学，在数学教学中经常被我们所用．

2.1从“基本经验”出发，寻找解题通性通法

我们又发现需要用到解决问题的“基本经验”，最后回到原点，直指结论，需要“基本思想”进行转化，提炼出“直观后的理性分析”是解题的最佳策略．

分析解决动点问题的关键在哪里？构图，有切点，连半径，得垂直．从结果来看，求点P的纵坐标，即求OD的长，过点P作x轴的垂线段．又点P在双曲线上，可转化为在双曲线上找一点到直线y=x的距离等于2．因此，利用“割”、“补”结合或交轨法，这两种方法学生自然会想到的．

请学生自主完成第2问，因动点在双曲线上，考虑问题要慎重(分类讨论)．

2.2从“基本经验”出发，寻求知识之间的联系

若将双曲线改为抛物线，则改为新的题目．

对变式2解法(略)，学生通过上题解答，积累了解题经验，从而自然想到寻找解题的通法．归结到变式1的解法上，或将四边形转化为特殊的平行四边形和直角三角形来解，更多的是学生的直观和经验，这应该是学生最容易想到的．最容易想到的，也许最靠近最近发展区．而这一点，在解题教学中特别重要，它是解题教学的灵魂．

3　多题归一——提炼共性与多题通解

在解题过程中，时时注意寻求知识之间的联系，把同类的问题进行归纳整理，通过“多题归一”(这里“归一”指的是找到一类题目的本源)，提炼共性，寻找解题通法．更主要的还是提炼分析题目的策略，思考问题的方法(数学思想、思维方式)．

本题实质上就是：已知四边形ODPE的两边长PD=3，PE=1，四个内角即∠D=∠E=90°，∠DOE=45°，∠DPE=135°，求第三边OD的长．

例题及变式1、变式2的解答可归结为：已知四边形ODPE的两边和四角，求未知边长．也就是说，此题的实质是解四边形．解四边形模型的建立，不仅为问题的解决提供了“模型”，而且有助于解法的探索，问题的解决和问题本质的揭示．变式1、变式2的改编和解答归结到例题的解法，达到多题归一的目的．可见，多题归一可以让学生知其解法，晓其变法，通其精髓，教会学生的不仅仅是会解一题，而是一类，达到“做一题、会一类、通一片”的教学效果．

综上所述，从一题多解、一题多变到多题归一，均有利于开阔学生解决问题的视野，发展学生的数学思维．但要强调的是，无论我们运用哪种解题教学模式，都不应只停留在解题或编题上．如果我们能引导学生进一步反思，一道题为何能多解？多题归一背后的深层次结构是什么？这才是提升学生解题能力的关键所在，也是我们在解题教学中值得反思的问题！

2016-06-15)