天津市静海区沿庄镇中学

刘家良　　(邮编：301605)



等一等“等”在何处

天津市静海区沿庄镇中学

刘家良(邮编：301605)

部分教师不顾学生现有的知识和经验，课堂节奏之快，让学生身心疲惫．因缺乏学生的积极参与，致使学生智慧的火花得不到闪现，这种只顾自己去完成教学任务的行为，背离了“以学定教”的思想．欲提高课堂教学的有效性，就要以学情为基点，循序渐进.在新知的孕育、思考、发现及归纳中等一等；在解题思维切入点的寻求和过程的反思上等一等；在错解究因、透彻理解、准确运用上等一等．等一等中为学生独思和交流营造出一种和谐、自然的氛围．

学情；循序渐进；等一等；新知；独思；交流

时下部分教师不顾学生现有的知识和经验，片面追求课堂知识容量的最大化，出现了课堂节奏过快的现象：问题提出后还未等学生来得及去思考，就马上让学生回答；合作交流还未给足自主探究的时间就急于展开讨论，而讨论开始后不久又草草收兵；以教师的能力、速度设定为学生的练习时间…．节奏之快，压得学生喘不过气来，致使许多知识、技能被做成了“夹生饭”.同时由于学生的“鼻子”是被老师预设的路线牵着往前走的，因缺乏足够的思考时间，致使课堂中缺乏学生智慧火花的闪现，更为甚者那些反映不那么及时的学生则变成了课堂的“观众”．当问及这些教师为什么上这么快的原因时，得到的回答是：快，可以留出时间多复习几遍，以此来查漏补缺．这些话听起来似乎有些道理，但是数学知识一环套一环，系统性强，学生这节没有听懂的东西，而到了下节的内容就会更难.久而久之，不懂的东西越聚越多，重重的包袱压得学生“窒息”，自然兴趣也就无从谈起了．这种做法背离了“以学生为本”的理念，也背离“以学定教”的思想．

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程．有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者．”所以，有效教学的关键在于怎样启发学生自己去思考和琢磨，在学生充分进行独立思考的基础上，再对他们进行启发、开导．特别是农村的初中生，大多数学生基础薄弱，认知参差不齐，思维呆板．因此，教师课堂上的“一招一式”，应以学情为基点，循序渐进，使数学知识建构在一种轻松愉悦的状态下“达成”，而这一切需要教师在课堂上有 “等一等”的耐心和策略．

教学是对学生知识和情感的一个潜移默化的培养过程，要做到“润物细无声”．等一等，是以学生的已有知识基础和经验为起点，面向全体，留下足够的时间和空间，引领同学们理解概念、定理，丰富对解题的认识，加深对典型问题的理解.将问题的本质挖掘出来或者去洞察问题的深层结构，是教师对学生思考问题的一种期待，期待着学生的精彩表现；等一等，是对学困生在课堂上的一种精神关爱．

等一等，这个“等”应设置在课堂的哪个节骨眼处能充分调动学生参与课堂探究的积极性呢？时机又如何把握呢？笔者认为：在新知的孕育、观察、思考、发现及归纳中要等一等，在解题思维切入口的寻求及过程的反思上要等一等，在错解究因、透彻理解、准确运用上要等一等．“等一等”，为学生独思和交流营造出一种和谐、自然的氛围．

1　在新知的孕育、观察、思考、发现及归纳中要等一等

荷兰数学教育家弗赖登塔尔反复强调：“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造’.”也就是由学生把要学的东西亲自去发现或创造出来，而教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造．

数学是从具体中提炼出的抽象语言，对初中生而言，我们应该将数学抽象的内容附着在现实的背景中，让学生去学习从现实生活中产生、发展的数学，帮助学生理解“形式化”的语言．因此，从实际问题“孕育”出数学问题的过程需要等一等．

案例1足球训练场上，教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练，如图1，甲、乙两名运动员分别在C、D两地，他们争论不休，都说在自己的位置射门好．如果你是教练，评一评他们的说法．

评析哪个位置射门好，取决于射门的“角度”，即比较∠C和∠D的大小．学生首先想到的是用半圆仪量．此时教师要舍得给时间让学生去经历这个感知过程．之后教师在⊙O的弧上再取几个点作为射门的不同位置,让学生再量，从中获得猜想．此时可将足球射门选角度问题引导学生抽象提炼成数学问题，即研究同弧所对的圆周角的大小关系问题．

观察是发现问题的开始．画图、度量、类比、猜想、转化是探究和获取数学知识的有效途径．教师做为一个组织者、引导者和合作者，要舍得花时间让学生历经这个过程，“等”出学生的果实．为提高“等”的实效性，对某些知识在探究前可做些适当的铺垫或分解．

案例2探究“圆周角定理”如图2，(1)一条弧BC所对的圆周角有多少个？(2)同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？(3)同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？

请同学们动手画出⊙O中弧BC所对的圆周角．观察弧BC所对的圆周角与圆心O有几种位置关系？

评析引导学生自己画图、度量，会发现弧BC所对的圆周角的度数都是相等的．同时借助几何画板测量出各个圆周角的度数，进一步验证“同弧所对的圆周角的大小相等”的性质．边观察几何画板的演示边引导学生概括归纳弧所对的圆周角与圆心位置的三种情况，用测量圆心角与圆周角度数的方法来初步猜测“同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半”的命题．

“问题是数学的心脏．”学生在探究中都会遇到坎坷，当遇到个人难以独立解决的问题时，其中小组合作是问题解决的有效策略．此时教师应耐心“等一等”．对学生表达不全的问题要给学生补全的机会，以延时评价和适时的点拨激发每名学生讨论问题的积极性．

案例3学生动手实践：在圆形硬纸片上任取一段弧，画出该弧所对的圆心角和任意一个圆周角．并根据所画的图形，分组探讨“该弧所对的圆周角等于圆心角的一半”成立的理由．

在活动交流后，教师选取一个小组展示图片、说理、验证．

评析圆心和圆周角的位置关系分为三类：圆心在圆周角一边上，圆心在圆周角内部，圆心在圆周角外部．而这三类情形，需要学生小组间的相互补充，师用“别的小组还有补充的吗”来调动学生参与讨论的热情，这种期待，需要有等一等的耐心．

第一类学生容易证明，第二类、第三类比较难，需要教师走近每个小组适时引领、点拨．由圆的轴对称性联想将硬纸片对折，过圆周角的顶点作“直径”，如图3、图4，则第二、第三类情况均化为第一类情形．在动手实践中，学生感悟到的是由一般到特殊的转化思想．

评析从特殊情形切入，又把一般情形转化为特殊情形．对一般情形化为特殊情形，学生接触的少，需要教师在思路的转化、思维的发散和聚合处给学生足够的时间让学生动手折一折、动脑思一想，辅之适时的点拨，使得思想的渗透自然天成．

小结是对一堂课中所学知识、技能的盘点和升华，同时又为后续知识的学习埋下伏笔，此时“等一等”，让学生自己去回忆、梳理、归纳、表达和建构．

案例4如图5，甲、乙、丙队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到图中C点时，乙、丙也分别跟随冲到图中的D点、E点，从射门的角度大小考虑，甲应把球传给谁好？请你从数学角度分析说明．

析评点D、E分别位于圆内和圆外，与圆周角初学时的情境有共同点也有区别点．小结时安排此题，既是对所学知识的应用又是延伸，为后续学习“点与圆的位置关系”埋下伏笔．此处等一等，是因为学生需要有一个类比、对比、分类与转化的思考空间，是培养学生的数学思想、应用意识的好时机．

2　在解题思维切入点的寻求及过程的反思上要等一等

解题是对所求对象(数、式、图形等)的观察、联想、比较、思考和发现的系列过程，在寻找“蛛丝马迹”的线索中开启思维之门．解题中，若不能找到它的切入点就会感觉束手无策.反之，若能找到它的切入点，就会搭建起已知和未知间的桥梁，思维就有了方向和动力．寻找问题的切入点，需要的是主动观察和善于思考的共同发力．因此教师要在解题的切入点处要舍得给学生尝试、思考的时间，要耐心等一等．通过等一等，等出切入法的多样性、思维的灵活性，等到“柳暗花明又一村”的豁然开朗，尝到苦中有乐的滋味，养成坚韧的意志．

2.1在开放性试题的解答中，寻找多个切入点并合理取舍要等一等

案例5如图6，在△BEC和△DFA中，点A、E、F、C在同一直线上，现有下面四个论断：

(1)AD=CB；(2)∠B=∠D；(3)AE=CF；(4)AD∥BC．

请你用其中的三个作为条件，余下的一个作为结论，编写一道数学问题，并写出解答过程．

分析此题考查全等三角形的判定与性质，因判定法有四种，故此学生切入的角度就会有别．若此题的四个论断能分别作为结论，则出现四种可能，分别是(1)，(2)，(3)→(4)；(1)，(2)，(4)→(3)；(1)，(3)，(4)→(2)；(2)，(3)，(4)→(1)．同时有部分学生注意到“(1)，(2)，(3)→(4)”是不成立的，因为符合“SSA”条件的两个三角形未必全等．

评析“还有不同的答案吗，根据是什么”，因在等一等中不断追问，学生不仅寻找到了分类的标准，而且还注意到合理取舍，在批判性的思维中养成了思维的严谨．

2.2在问题的转换中历经尝试进入愤悱状态前要等一等

在问题的转换过程中，学生要历经不断尝试，等到呈现“愤”、“悱”状态时，教师就要适时启发，旨在给学生提供继续探下去的一个“支点”．

案例6如图7，已知一个无盖圆柱纸盒的底面半径为8cm，高为7cm，一只蜗牛从A点爬到C点的最短路程是______(π取3)．

2.3寻求切入点贵在一种“韧”劲

评析年级越高，知识的综合性就越强，问题的难度就越大，则学生的攀爬就越陡峭，此时成功的背后只有一种坚持，这种坚持就是大胆的尝试，勇于挑战的精神．恰似南宋诗人陆游在《游山西村》描绘的“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”之感．

解题反思是优化思维、举一反三中不可或缺的环节．在反思中，要等一等，让学生提炼解题方法，思考方法的迁移性，推广的一般性，思维的可逆性等．

案例8如图8，已知E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°．求证EF=BE+DF．

分析此题是证明一条线段等于两条线段之和．思路为补短或截长，综合了全等三角形的判定和性质．

解完后，可让学生继续思考：(1)条件和结论互换一下位置，命题是否成立？

(2)如图9，在直角梯形ABCF中，AB∥FC，AB=BC=12.点E为BC边上一点，且∠EAF=45°，EF=10.求△AEF的面积．

3　在错解究因、透彻理解、准确运用上等一等

简约和精确，是数学语言的特点．然而，一部分学生因偏重直观与猜测，缺乏仔细审题的习惯，缺乏缜密思考问题的品质，致使解题过程和结果出现错误．怎样看待学生解题中出现的问题呢？如何减少类似错误的出现呢？学生解题中的错误现象给我们及时调整和改进授课方法敲响了警钟，减少类似错误的出现的一个有效的方法就是课堂拿出时间让学生自己究因或学生之间相互究因，避免教师过于全盘分析的做法．

3.1澄清模糊问题中要等一等

在知识的易混、易错处要精心设问，通过学生的比对加深对新知的理解，感受数学语言的简约和严谨，培养学生一丝不苟的求知态度．

案例9“同弧所对的圆周角相等”中的“弧”能否改成“弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？

分析学生初学时易犯的毛病．当弦为直径时，所对的圆周角都是直角；当弦不是直径时，弦所对的同一侧的圆周角相等，而两侧的圆周角互补但不相等．学生在画图过程中，既要考虑到弦为直径的特殊情形，也要想到弦的同侧和异侧的圆周角．对初学者而言，画图辅以分类思考都需要教师耐心等一等．

3.2有易漏现象的问题要等一等

案例10若mm-3=1，求m的值．

分析幂为1的情况不唯一，考虑不全容易漏掉某种情况．纠正这类问题需要学生课堂的积极参与和教师的延时评价．

解根据a0=1(a≠0)，得m=3；根据1n=1，得m=1；根据(-1)2 n=1(n为正整数)，得m=-1.

评析融入了分类的思想，解这类题学生易出现顾此失彼的现象．让学生有条理的分类思考，“还有其他的情况吗？还有做补充的吗？”不断追问回答的学生，让他们自己说出漏解的原因，补全答案．

3.3对虚设条件现象的剖析要等一等

不正确的潜在假设是基于一种不正确的心理势态(多为消极的思维定势)的误导，对事情缺乏细致、准确的理解而做出的知觉性判断．

案例11若一个三角形三边长分别为3，4，x，则使此三角形为直角三角形时，x的值是____．

错解：x=5．

错解剖析边长x有可能是斜边，有可能是直角边．这些学生将边长x视为斜边(而这不是题中的已知条件)，遗漏了直角边长的可能性．将x视为斜边，是受勾股数3、4、5思维定势的影响所致．

错解“展示”中等一等．错解展示中，让学生画出错误的地方，并指出错在哪里．

案例12如图10，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与边AD、BC分别交于E、F，求证四边形AFCE是菱形．

误解“展示”∵对角线AC垂直平分EF，∴∠AOF=∠COE=90°，AO=CO，OE=OF(注：题设是这样的吗？是“谁”平分“谁”？)．

∴△AOF≌△COE．∴AF=CE． 同理，得AE=CF．∴四边形AFCE是平行四边形．

∵AC⊥ EF，∴ 四边形AFCE是菱形．

3.4随意类比公式、法则造成错误时等一等

采用类比的方法，就有可能较快地从旧知获取新知．但由类比得到的结论是否可靠还需要论证，否则，随意类比容易出现错误．

错解剖析由于类比单项式乘多项式的法则，臆造了一个单项式除以多项式的法则所致．事实上，这个法则是不存在的．

评析让学生举出反例，来驳倒由所谓的类比得到的公式，事实让学生“心服口服”，需要给学生反省的时间，要等一等．

华中师范大学郭元祥教授在《教育是慢的艺术》一文中指出：“教育，是一种慢的艺术．慢，需要平静和平和；慢，需要细致和细腻；慢，更需要耐心和耐性．”教育，作为一种慢的艺术，需要留足等一等的空间和时间，需要有舒缓的节奏．学会等，你的心中就装下了每名学生；学会等，等出了学生的学习乐趣，等出了学生“愤”、“悱”后闪现的智慧火花，等到的“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的惊喜与冲动！

1刘家良. 解题中常见的7种错误现象.中国数学教育(初中版)，2012(11)

2016-05-23)