申培萍 张梦想 张 莹

(河南师范大学 河南 新乡 453000)



动态规划在铝行业储存与生产的应用

申培萍 张梦想 张 莹

(河南师范大学 河南 新乡 453000)

文章对铝行业中生产和存储问题为例说明了动态规划在铝企业生产与储存中的具体应用，并证明其有效性。

动态规划;多阶段决策;最优化

铝工业作为基础性原材料工业，在经济发展和工业进步起着至关重要的作用，为了保证铝产品的一系列生产，就要保证采购量和库存量达成一个平衡状态。因此本文主要对铝企业的采购与库存环节进行研究，提出切实可行的采购和库存策略，从而保证生产达到企业优化的目的。

一、基本目标

要达到三个基本的目标：①库存检查的时间点。②每次进货的订货量。③进货的时间点。

二、基本原理

有一个合理的检查周期T、最大储存量G、订货量H，储存量g。在检查库存时，如果H>g，就需要采购原材料生产，如果H≤G-g，则不需要采购生产。以储存为媒介，连接起采购—储存—销售三者之间的动态关系，储存又和生产密不可分，所以分析这两个就可以估计整体的关系。以时间顺序排列的一组数据，引入时段因素。每一个阶段都需要进行决策，而且各阶段之间互有联系，所以本阶段的决策不仅会影响本阶段，而且影响下一阶段，从而影响整体的结果。所以决策时不仅要考虑本次阶段的影响，更要考虑整体的影响，做出对整体来说是最优的决策。

三、应用动态规划实例

生产与库存最有问题。设某工厂调查了解市场情况，根据往年预测在今后四个时期市场对产品的去求见下表：

k(阶段)1234dk(需求量)2324

假设在任意阶段，生产每批铝固定消耗3(千元)，如果不生产，则为0。生产每单位产品的需要的固定费用为1(千元)，任何一个阶段的最大产能不大于6个单位。并且任意期间每单位产品的库存费为0.5(千元)，同时规定的开始和期末均无产品库存。如何制定计划,在满足订货量及假设的情况下,使所花费的总成本费用最小。

(一)符号说明及分析：将本问题划分为四个时段，时段变量设为k=1,2,3,4 即：①sk为状态变量，表示第k阶段末的库存量，由已知得s0=s4=0。②xk决策变量，表示第k阶段的生产量，dk表示第k阶段的需求量。③sk+1=sk+xk-dk为状态转移方程。④vk(sk,xk)为阶段指标函数，表示第k阶段的总成本，它由第k阶段的生产成本ck(xk)和第k阶段的储存费hk(sk)两个部分组成，最优指标函数为fk(sk)。

考虑k=4，因为要求4阶段底存储量为0，本阶段需求量为4个单位，所以本阶段产能应为x4=4-s4，由于受限于最大存储量为3个单位，所以s4取值为0,1,2,3。

(二)模型的建立：该问题可看作混合整数规划中求解多阶段生产规划，实际上，这就是动态优化问题。多阶段生产计划属于离散型优化问题，可以把它拆解为递推关系的很多小问题，动态规划模型主要针对的就是这类问题。

由题可知，动态规划的数学模型为：

hk(sk)=0.5sk，所以：vk(sk,xk)=ck(xk)+hk(sk)

基本方程为：

当k=3时，先分析状态变量s3的变化区间，它与库存最大量决定s3={0,1,2,3}。再剖析决策变量xk的取值范围，为满足本阶段需求，产能x3至少为d3-s3=2-s3，如果库存量s3>2，则u3应取0。为满足期末存储量为零，x3应小于等于d3+d4-s3=6-s3，另外x3还受限于存储量3个单位，即应小于等于d3+3-s3=5-s3，同时还受限于最大产能为6个单位的限制，总之有 max(0,2-s3)≤x3≤min(6,5-s3,6-s3)的整数。

f3(s3)=min[C(x3)+E(s3)+f4(s3+x3-d3)]

我们对s3=0,1,2,3分别求f3(s3)的值。

得第4阶段初库存为0，于是3，4阶段费用最小为12(千元),第3阶段最优产量为2个单位,根据这就可以类推可得：

当k=2时，有f2(s2)=min[C(x2)+E(s2)+f3(s2+x2-d2)]

max(0,d2-s2)≤x2≤min(6,d2+3-s2,d2+d3+d4-s2)的整数。

上述经过计算的结果如下：

从而可得，总体最小费用为f1(0)=21(千元)，第1阶段最符合要求的产能为2个单位。而需求量d1=2，因此第2阶段一开始的储存量为0，当s2=0列可得第2阶段最佳产量为5单位，同理，还可得出第3，4阶段的最佳产能。

整体的最佳生产计划为：第1阶段产能为2个单位，第2阶段产能为5个单位，第3阶段不需要生产，第4阶段产能为4单位。

四、总结

综上所述，此类生产储存问题的方程可以写为：

式中opt可根据求为max或min，vk(sk,xk)为状态变量sk、决策变量xk时所对应的第k阶段的指数函数。

本文系：河南师范大学2015年大学生创新训练项目，项目名称：关于企业生产计划最优化模型的研究；项目编号：20150209

申培萍(1964-)，女，博士，河南师范大学教授；张梦想(1995-)，男，河南师范大学；张莹(1996-)，女，河南师范大学。