俞莹磊

[摘 要] 零点定理是微分学中一个重要的定理，在理论与实际生活中都普遍地能够应用到，就零点定理的推广及应用来了解零点定理的独特魅力。

[关 键 词] 零点定理；推广；应用

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2016）24-0068-02

零点定理是微分学中一个重要的定理，它的一个重要的应用是研究函数零点的存在性问题。它有两个很重要的约束条件。由于零点定理有两个约束条件，因此导致零点定理有时得不到充分的利用。本文将从零点定理及几何意义入手，对零点定理的推论进行探讨，将其推广与在理论和实际中应用，学以致用，将零点定理的价值充分展现。

一、零点定理及几何意义

1.零点定理：一般情况下我们设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号[（即f（a）·f（b）<0），那么在开区间（a，b）内至少有函数f（x）的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ

2.几何意义：因为f（x）在区间[a，b]上是连续的，因此f（x）的图像是一条连续不断的连续曲线。当f（a）和f（b）异号，且曲线的两个端点f（a）和f（b）一个在平面直角坐标系x轴上方，一个在x轴下方，所以这条曲线必然至少经过x轴一次。

二、零点定理的推广

零点定理本身具有一定的局限性，首先该讨论的函数在闭区间上是连续的，其次该函数在闭区间的两个端点的函数值必须是异号的。将其推广可以得到更好地运用，以下是对零点定理的推广。

推论1（介值定理）：零点定理是介值定理的一种特殊情况。我们假设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）≠f（b），那么，对于f（a）与f（b）之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少会有一点ξ，使得f（ξ）=C。

推论2：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续……