李　迅, 张道祥, 昂蓉蓉

(安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽 芜湖 241002)



非连续免疫策略对一类计算机病毒模型的影响

李迅, 张道祥, 昂蓉蓉

(安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽 芜湖 241002)

摘要：研究一类右端不连续的计算机病毒传播模型. 通过计算得到模型的基本再生数R0. 运用微分包含的相关知识, 给出该模型的Filippov解的定义, 证明了该非连续模型的平衡点的存在唯一性. 通过构造合适的Lyapunov函数, 证明了当R0>1时, 满足初始条件的每一个解都是在有限时间内全局收敛于地方病平衡点; 当R0<1 时, 满足初始条件的每一个解都是在有限时间内全局收敛于无病平衡点. 利用MATLAB软件进行数值模拟, 验证了理论结果的正确性.

关键词：计算机病毒；非连续免疫策略；Lyapunov函数；有限时间全局收敛

0引言

伴随着互联网商业、工业和社会活动的日益普及, 计算机病毒已经严重威胁到信息安全, 导致组织蒙受巨大损失. 杀毒软件在计算机病毒预防中发挥了重要作用, 但是它们总是滞后于病毒. 为了有效防范计算机病毒在网络中的传播, 需要了解各种病毒的传播方式、修补的影响以及网络拓扑等情况[1]．我们发现电脑病毒的传播和人类流行的蔓延之间具有很大的相似性[2]， 因此Kephart在此基础上使用数学方法分析电脑病毒的流行[3]. 在这之后, 一些描述计算机病毒传播特征的动态模型被大量提出来, 主要是SIR模型[4]和SIS 模型[5]，但是，这些模型没有考虑预先免疫措施，于是文献[6]根据实际情况, 提出了一个新的计算机病毒传播SIRS模型, 充分考虑了预先免疫措施, 并对所提出模型的动力学行为进行了理论分析和实验验证. 但这些计算机病毒模型大都只考虑了连续的免疫过程.然而，不止在网络世界中存在非连续的情况, 现实生态系统中也具有不连续现象[7-8], 本文由此对这种现象加以研究.

网络中的节点可以看做是私人计算机或者服务器端等, 其中S表示处于易感染状态的节点, I表示处于已感染状态的节点, R 表示处于恢复状态的节点,文献[6]主要提出了如下的模型:

(1)

其中：p为新节点的感染率；b为新节点的接入数；μ为节点死亡率；β为有效传染率；k为反病毒措施的实施率；γ为已感染节点的治愈率.

由于存在非连续情况,本文考虑在上述模型中加入非连续免疫项h(I)：

(2)

(A1). h(I)=φ(I)I,φ:R+→R+是一个非减的函数, 并且在每一个紧致的区间内至多有有限个跳跃间断点.

由于模型(2)的前两个方程相对于变量R是独立的, 所以只需要考虑下面的子系统：

(3)

由于在模型(3)的右边部分存在一个非连续项, 所以经典的微分方程理论不能运用在这里. 为了继续接下来的研究, 则需要定义模型(3)其他形式的解, 这里引入了Filippov解的形式[9],考虑如下右端不连续微分方程：x′(t)=f(t,x(t))，其中f关于变量t是可测的且是局部有界的.

定义1考虑如下的集值映射：

对于带有初值的不连续微分方程,Filippov解是绝对连续的向量值函数. 一个向量函数(S(t),I(t)),t∈(0,T),T∈(0,+∞)是模型(2)的一个解, 其中模型(2)的初始条件是S0=S(0)≥0,I0=I(0)≥0, 如果(S(t),I(t))在任意一个子区间[t1,t2]上是一致连续的, 则对于满足初始条件的向量函数满足如下的微分包含：

(4)

(5)

1平衡点及其存在唯一性

出于现实网络世界中的考虑, 需要证明模型(3)满足初始条件的解是有界且是正的.

命题1假设(A1)是成立的, 令(S(t),I(t))是模型(2)满足初始条件S0=S(0)≥0,I0=I(0)≥0,t∈[0,T)的解, 则S(t)≥0, I(t)≥0，其中 t∈[0,T).

命题2假设(A1)是成立的, 且S(0)≥0, I(0)≥0, 模型(2)在(0,t0)上至少存在一个解(S(t),I(t))满足S0=S(0), I0=I(0), 并且所有的解都是存在且有界的, 其中t∈[0,+∞).

由式(4)可以得到

对于模型(3), 定义一个常数解(S(t),I(t))=(S*,I*), 如果(S*,I*)是模型的一个平衡点当且仅当

(6)

(7)

很明显, 这里的ξ*是唯一的, 并且

若(A1)成立, 为了得到模型(3)的平衡点, 需要解决下面的微分包含

(8)

(9)

连立式(9)的两个微分方程, 可以得到

(10)

证明首先来证微分包含式(10)存在一个的正解, 由于R0>1, 则g(0)>φ(0)>0, 又g(I)是单调递减函数, φ(I)关于I是非单减的函数. 另外, g(I)≤0 当且仅当

(11)

2有限时间内全局收敛

这一部分主要通过构造Lyapunov函数, 证明无病平衡点和地方病平衡点是在有限时间内到达平衡点的, 在开始证明之前先介绍下面的一个假设.

(A2). 假设R0>1且φ(I)在I*处有一个跳跃间断点, 其中I*是由引理1确定的唯一正解, 另外取

η*=βS*-(γ+μ)∈(φ((I*)-),φ((I*)+))，

根据(A2)可定义θ:=min{φ((y*)+)-η*,η*-φ((y*)-)}>0.

定理1在假设(A1),(A2)都成立的前提下, 模型(3)所有满足初始条件的解都在有限时间内全局收敛于平衡点E*=(S*,I*). 即当所有的

都有(S,I)=(S*,I*),t∈(0,+∞)，其中

(12)

(13)

构造如下的Lyapunov函数：

其中α是一个正常数, 定理之后将给出它的取值范围. 很明显V1(x(t),y(t)) 是一个正则函数, 当(x(t),y(t))≠0时, V1(x(t),y(t))>0且V1(0,0)=0; 当x→+∞或y→+∞时, V1(x(t),y(t))→+∞, 则有

[η(t)-η*](y+I*)] ≤-(k+μ)x2+αβx[η(t)-η*]-α[η(t)-η*]2≤

将上式两边从0到t积分可得

也就是说当t=t*时,V1(x(t),y(t))=0, 其中

由文[11]知当t>t*时,可得(x(t),y(t))=0, 即当t>t*时,(S(t),I(t))=(S*,I*), 故定理1得证.

接下来我们希望得到模型的解可以在有限时间内收敛于无病平衡点E0, 由于A1假设h(I)在I=0处是连续的, 所以在A1的前提下不能得到在有限时间内收敛于无病平衡点E0, 因此需要给出以下假设：

(A3)h:R+→R+是一个非减且在每一个紧致区间内至多有有限个跳跃间断点的函数, 此外h(0)=0，但是h(I) 在I=0处是不连续的.

(14)

为了证明结论构造了如下的Lyapunov函数：

(15)

对V2(x(t),I(t))求导可以得到

所以当

3数值模拟

在这一节中, 将给出两个数值分析的例子来模拟我们的理论推导过程.

3.1有病平衡点的全局收敛性

根据假设A1, 取h(I)的函数为

选取的参数值分别为p=0.5，b=30，β=0.2，k=0.7，μ=0.3，γ=0.2，其中S, I的初值分别为S(0)=1,I(0)=2, 得到如下结果(图1). 从图像中可以发现, S(t)和I(t)都在有限的时间内各自到达了平衡, 这和定理1得到的结果一样.

3.2无病平衡点的全局收敛性

根据假设A1, 取h(I)的函数为

选取的参数值分别为p=0.2，b=2，β=0.1，k=0.6，μ=0.6，γ=0.4，其中S, I的初值分别为S(0)=1,I(0)=2, 得到如下结果(图2). 从图像中可以看出, I(t)在有限的时间内灭亡, S(t)则是趋向于无病平衡点, 这和定理2的结论是完全一致的.

图1　地方病平衡点的变化趋势图Fig. 1　Changing trend of disease equilibrium

图2　无病平衡点的变化趋势图Fig. 2　Changing trend of free disease equilibrium

4结论

在现实世界中由于一些人为或者自然因素的影响, 会导致非连续的现象出现,本文得到的重要结论是知道解在何时到达平衡点, 由此将非连续的微分理论推广运用到其他领域中去是非常有意义的, 比如传染病系统、生态系统等. 研究非连续方程最大的困难就在于经典微分的一些结论不能运用到非连续微分方程中去，为了解决这一难题就需要引入Filippov解及微分包含等知识，运用这一套方法就可以研究很多领域内的非连续现象, 从而能够得到更多符合实际的结论.

参考文献:

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[5] ZOU C C, TOWSLEY D, GONG W B. On the performance of Internet worm scanning strategies[J]. Performance Evaluation,2006,63(7):700-723.

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收稿日期：2015-09-25

基金项目：国家自然科学基金项目(11302002).

通信作者：张道祥 (1979-),男,副教授,博士,主要从事应用数学研究.E-mail:18955302433@163.com

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.04.013

中图分类号:O175；Q141MSC2010：39A30；65D25

文献标志码:A

文章编号:1674-232X(2016)04-0408-07

Impact of Discontinuous Immunization Strategy on A SIR Computer Virus Model

LI Xun, ZHANG Daoxiang, ANG Rongrong

(School of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241002, China)

Abstract:In this paper, a discontinuity on the right computer virus model was studied. The basic reproduction number R0 was obtained by calculating. With the knowledge of differential calculus, the Filippov solution for the model was defined, the existence and uniqueness of the equilibrium of the model were proved. By constructing Lyapunov function, it was proved that each solution was global convergence to the disease equilibrium in finite time when R0>1, while each solution was global convergence to the free disease equilibrium in finite time when R0>1. Some numerical simulations were also carried out to illustrate the theoretical results with MATLAB.

Key words:computer virus; discontinuous immunization strategy; Lyapunov function; finite time global convergence