李何东，谷　峰

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)



b-度量空间中三次方型压缩映象的一个新的公共不动点定理

李何东，谷峰

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

摘要：在b-度量空间中引入了(P)型相容映象对的概念，讨论了一个新的三次方型的压缩条件，并利用自映象对(P)型相容和弱相容的条件，证明了一个新的公共不动点定理，所得结果推广和改进了度量空间中的已有结论.

关键词：b-度量空间；公共不动点；(P)型相容映象；弱相容映象；三次方型压缩映象

1引言和预备知识

自从Czerwik[1]提出b-度量空间的概念以来，众多学者深入研究了b-度量空间中的不动点和公共不动点问题，获得了许多有意义的研究结果[1-7]. 关于度量空间中公共不动点问题的研究，Jungck[8]在1976年提出了可交换映象的概念，成为学者们对映象对的公共不动点问题广泛研究的开始. Sessa[9]在1982年提出了弱交换映象的概念，Jungck[10]在1986年提出相容映象的概念，随后Pathak等[11]引入了(P)型相容映象的概念.2011年，Akkouchi[5]把相容映象和弱相容映象的概念引入到b-度量空间中，得到了一些公共不动点结果.

2002年，谷峰等[12，定理2.10.5] 在度量空间中研究了如下压缩条件：

其中a∈(0,1),b∈[0,1), 在两对映象弱交换的条件下，证明了一个公共不动点定理.

本文受上述文献的启发，把上述问题放在b-度量空间的框架中加以考虑，同时把压缩映象推广成更一般的四项和的形式，并在b-度量空间中引入(P)型相容映象的概念，利用映象对(P)型相容和弱相容的条件，证明了4个映象的一个新的公共不动点定理.

定义1[1]设X是一个非空集合，k≥1是一个给定的实数. 称函数d:X×X→R+是集合X上的一个b-度量，若∀x,y,z∈X，有以下条件被满足：

(i)d(x,y)=0⟺x=y；

(ii)d(x,y)=d(y,x)；

(iii)d(x,y)≤k[d(x,z)+d(z,y)] .

这时我们称(X,d)是一个b-度量空间，实数k≥1称为该b-度量空间的系数.

注1显然，当k=1时，b-度量空间即为通常的度量空间，但是b-度量空间不一定是度量空间. 下面仅举一例加以说明.

例1[3]设X=R,定义d(x,y)=(x-y)2,那么它是一个系数k=2的b-度量空间，但显然不满足度量空间的三角不等式.

定义2[4]若{xn}是b-度量空间(X,d)上的点列，存在x∈X,使得d(xn,x)→0(n→∞),那么我们称点列{xn}收敛于x，记做xn→x(n→∞).

定义3[4]若{xn}是b-度量空间(X,d)上的点列，如果d(xn,xm)→0(n,m→∞),那么我们称点列{xn}为X上的柯西列.

注2[4]收敛点列只有一个极限，且每一个收敛点列都是柯西列.

定义4[4]若b-度量空间(X,d)上所有的柯西列都收敛，则称这个b-度量空间为完备b-度量空间.

定义5[5]b-度量空间(X,d)上的自映象对(f,g)称为是相容的，如果∀{xn}⊂X,只要fxn→x, gxn→x(n→∞),x∈X，就有d(fgxn,gfxn)→0(n→∞).

定义6b-度量空间(X,d)上的自映象对(f,g)称为(P)型相容的，如果∀{xn}⊂X,只要fxn→x,gxn→x(n→∞),x∈X，就有d(f2xn,g2xn)→0(n→∞).

注3由定义易知，(P)型相容映象对不一定是相容映象对，而相容映象对也不一定是(P)型相容映象对，见例2、例3.

例2设X=[0,1] ,d(x,y)=(x-y)2,定义X上的自映象f,g分别为

故映象对(f,g)是相容的，但是

故映象对(f,g)非(P)型相容.

例3设X=[0,1] ,d(x,y)=(x-y)2,定义X上的自映象f,g分别为

故为映象对(f,g)是(P)型相容的，但是

故映象对(f,g)是非相容的.

定义7[5]b-度量空间(X,d)上的自映象对(f,g)称为弱相容的，如果

{t∈X:f(t)=g(t)}⊂{t∈X:fg(t)=gf(t)}.

注4由定义易知，(P)型相容映象对必是弱相容映象对，但反之不真，反例见例4.

例4设X=[2,20] ,定义b-度量如例1，定义X上的自映象f,g分别为

要使fx=gx,则x=2，显然fg(2)=gf(2)=2,故映象对(f,g)是弱相容的，但对于数列xn→5,xn>5,我们有fxn=xn-3→2,gxn≡2→2,但是d(f2xn,g2xn)=[f(xn-3)-g(2)]2=(12+xn-3-2)2→144(n→∞),故映象对(f,g)不是(P)型相容的.

注5与度量空间不同，b-度量空间不一定连续，例子可见文献[3]. 但我们有以下引理.

2主要结论

定理1设S,T,A,B是完备b-度量空间(X,d)上的4个自映象，满足SX⊂BX,TX⊂AX，且∀x,y∈X，有

cd(Ax,Sx)d(By,Ty)d(Ax,Ty)+dd(Ax,Sx)d(By,Ty)d(Sx,By).

(1)

(i)A,S之一连续，且(S,A)是(P)型相容的，(T,B)是弱相容的；

(ii)B,T之一连续，且(T,B)是(P)型相容的，(S,A)弱相容的；

(iii)A,B之一为满射，且(S,A)和(T,B)都是弱相容的.

证明因为SX⊂BX,TX⊂AX,故∀x0∈X,∃x1∈X,使得Sx0=Bx1=y0;∃x2∈X,使得Tx1=Ax2=y1;…;∃x2n+1∈X,Sx2n=Bx2n+1=y2n;∃x2n+2∈X,Tx2n+1=Ax2n+2=y2n+1;由此得序列{xn}和{yn}. 下证{yn}为柯西列. 由式(1)和三角不等式得

d3(y2n,y2n+1)=d3(Sx2n,Tx2n+1)≤ad(Ax2n,Bx2n+1)d(Ax2n,Sx2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)+

cd(Ax2n,Sx2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(Ax2n,Tx2n+1)+dd(Ax2n,Sx2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(Sx2n,Bx2n+1)=

ad(y2n-1,y2n)d(y2n-1,y2n)d(y2n,y2n+1)+bmax{d2(y2n-1,y2n+1)d(y2n,y2n),d(y2n-1,y2n+1)d2(y2n,y2n)}+

cd(y2n-1,y2n)d(y2n,y2n+1)d(y2n-1,y2n+1)+dd(y2n-1,y2n)d(y2n,y2n+1)d(y2n,y2n)=

ad2(y2n-1,y2n)d(y2n,y2n+1)+cd(y2n-1,y2n)d(y2n,y2n+1)d(y2n-1,y2n+1)≤

ad2(y2n-1,y2n)d(y2n,y2n+1)+ck[d2(y2n-1,y2n)d(y2n,y2n+1)+d(y2n-1,y2n)d2(y2n,y2n+1)].

(2)

d(yn,yn+1)≤λd(yn-1,yn)≤…≤λnd(y0,y1)，∀n∈N.

(3)

对于∀n>m, 由三角不等式有

d(yn,ym)≤kd(ym,ym+1)+k2d(ym+1,ym+2)+…+kn-m-1d(yn-2,yn-1)+kn-m-1d(yn-1,yn)≤

kd(ym,ym+1)+k2d(ym+1,ym+2)+…+kn-m-1d(yn-2,yn-1)+kn-md(yn-1,yn).

(4)

所以d(yn,ym)→0(n,m→∞),故{yn}为柯西列. 由X完备知，存在z∈X,使得yn→z(n→∞). 由于序列{Sx2n}={Bx2n+1}={y2n}和{Tx2n+1}={Ax2n+2}={y2n+1}是序列{yn}的子列，故Sx2n→z,Bx2n+1→z,Tx2n+1→z,Ax2n→z(n→∞).

下证z是S,T,A,B的公共不动点.

(i)若A连续，且(S,A)是(P)型相容的，(T,B)是弱相容的. 则由A的连续性可得A2x2n→Az,ASx2n→Az(n→∞),，又由(S,A)是(P)型相容的，故有d(A2xn,S2xn)→0(n→∞),由引理1可得S2x2n→Az(n→∞).

下证Az=z. 事实上，若Az≠z，由式(1)得

d3(S2x2n,Tx2n+1)≤ad(ASx2n,Bx2n+1)d(ASx2n,S2x2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)+bmax{d2(ASx2n,Tx2n+1)d(S2x2n,Bx2n+1),d(ASx2n,Tx2n+1)d2(S2x2n,Bx2n+1)}+

cd(ASx2n,S2x2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(ASx2n,Tx2n+1)+

dd(ASx2n,S2x2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(S2x2n,Bx2n+1).

ck6d(Az,Az)d(z,z)d(Az,z)+dk6d(Az,Az)d(z,z)d(Az,z)=

此为矛盾，故Az=z.

下证Sz=z，否则，若Sz≠z，由压缩条件(1)得

d3(Sz,Tx2n+1)≤ad(Az,Bx2n+1)d(Az,Sz)d(Bx2n+1,Tx2n+1)+

bmax{d2(Az,Tx2n+1)d(Sz,Bx2n+1),d(Az,Tx2n+1)d2(Sz,Bx2n+1)}+cd(Az,Sz)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(Az,Tx2n+1)+dd(Az,Sz)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(Sz,Bx2n+1).

利用引理2对上式两边同取上极限，并注意到Az=z可得

ck3d(Az,Sz)d(z,z)d(Az,z)+dk3d(Az,Sz)d(z,z)d(Sz,z)=0.

所以d3(Sz,z)=0,故Sz=z.

由z=Sz∈SX⊂BX，存在u∈X，使得Az=z=Sz=Bu，下证Bu=Tu. 事实上，由式(1)可得

d3(Bu,Tu)=d3(Sz,Tu)≤ad(Az,Bu)d(Az,Sz)d(Bu,Tu)+

cd(Az,Sz)d(Bu,Tu)d(Az,Tu)+dd(Az,Sz)d(Bu,Tu)d(Sz,Bu)=0.

所以d3(Bu,Tu)=0,故Bu=Tu=z. 由于(T,B)弱相容，故Bz=BTu=TBu=Tz. 再由式(1)可得

d3(z,Tz)=d3(Sz,Tz)≤ad(Az,Bz)d(Az,Sz)d(Bz,Tz)+

cd(Az,Sz)d(Bz,Tz)d(Az,Tz)+dd(Az,Sz)d(Bz,Tz)d(Sz,Bz)=bd3(z,Tz).

若S连续，则SAx2n→Sz,S2x2n→Sz(n→∞). 由(S,A)是(P)型相容的，故有d(A2xn,S2xn)→0 (n→∞),于是由引理1可得A2x2n→Sz(n→∞).

下证Sz=z. 若Sz≠z,由式(1)得

d3(SAx2n,Tx2n+1)≤ad(A2x2n,Bx2n+1)d(A2x2n,SAx2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)+bmax{d2(A2x2n,Tx2n+1)d(SAx2n,Bx2n+1),d(A2x2n,Tx2n+1)d2(SAx2n,Bx2n+1)}+

cd(A2x2n,SAx2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(A2x2n,Tx2n+1)+

dd(A2x2n,SAx2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(SAx2n,Bx2n+1).

此为矛盾，所以Sz=z.

由z=Sz∈SX⊂BX，存在u∈X，使得z=Sz=Bu. 下证Sz=Tu. 事实上由式(1)可得

d3(SAx2n,Tu)≤ad(A2x2n,Bu)d(A2x2n,SAx2n)d(Bu,Tu)+

bmax{d2(A2x2n,Tu)d(SAx2n,Bu),d(A2x2n,Tu)d2(SAx2n,Bu)}+cd(A2x2n,SAx2n)d(Bu,Tu)d(A2x2n,Tu)+dd(A2x2n,SAx2n)d(Bu,Tu)d(SAx2n,Bu).

ck3d(Sz,Sz)d(Bu,Tu)d(Sz,Tu)+dk3d(Sz,Sz)d(Bu,Tu)d(Sz,Bu)=0.

所以d3(z,Tu)=0,故z=Sz=Tu=Bu. 由于(T,B)弱相容，故Bz=BTu=TBu=Tz.

下证Sz=Tz.事实上，若Sz≠Tz,由式(1)可得

d3(Sx2n,Tz)≤ad(Ax2n,Bz)d(Ax2n,Sx2n)d(Bz,Tz)+

cd(Ax2n,Sx2n)d(Bz,Tz)d(Ax2n,Tz)+dd(Ax2n,Sx2n)d(Bz,Tz)d(Sx2n,Bz).

ck3d(z,z)d(Bz,Tz)d(z,Tz)+dk3d(z,z)d(Bz,Tz)d(z,Bz)=

此为矛盾，所以d3(z,Tz)=0,故z=Tz,所以z=Tz=Bz=Sz.

由于z=Tz∈TX⊂AX,存在v∈X，使得z=Tz=Bz=Sz=Av. 下证z=Sv,由式(1)并注意到z=Tz=Bz=Sz=Av,可得

d3(Sv,z)=d3(Sv,Tz)≤ad(Av,Bz)d(Av,Sv)d(Bz,Tz)+

cd(Av,Sv)d(Bz,Tz)d(Av,Tz)+dd(Av,Sv)d(Bz,Tz)d(Sv,Bz)=0.

所以d3(Sv,z)=0,即z=Sv,由(S,A)的弱相容性得Az=ASv=SAv=Sz,所以z=Tz=Bz=Sz=Az. 即当S连续时，z是S,T,A,B的公共不动点. 唯一性同理易证.

(ii)当B,T之一连续，且(T,B)是(P)型相容的，(S,A)弱相容时，这种情况与情况(i)类似可证.

(iii)当A,B之一为满射，且(S,A)和(T,B)都是弱相容时.

不妨设A为满射，则对z∈X,存在t∈X,使At=z. 利用式(1)有

d3(St,Tx2n+1)≤ad(At,Bx2n+1)d(At,St)d(Bx2n+1,Tx2n+1)+

对上式两边同取上极限，由引理2可得

ck3d(At,St)d(z,z)d(At,z)+dd(At,St)d(z,z)d(St,z)=0.

所以d3(St,z)=0,故St=z. 又由于(S,A)弱相容，所以Sz=SAt=ASt=Az. 再由式(1)可得

d3(Sz,Tx2n+1)≤ad(Az,Bx2n+1)d(Az,Sz)d(Bx2n+1,Tx2n+1)+

对上式两边同取上极限，由引理2可得

ck3d(Az,Sz)d(z,z)d(Az,z)+dd(Az,Sz)d(z,z)d(Sz,z)=0.

所以d3(Sz,z)=0,故Sz=z. 由SX⊂BX,存在v∈X使得z=Az=Sz=Bv. 根据(i)中相同部分的证明同理可证z=Tz=Bz=Az=Sz.

若B为满射，同理易证z=Tz=Bz=Az=Sz.

最后证明公共不动点的唯一性. 设另有公共不动点w，由式(1)可得

d3(z,w)=d3(Sz,Tw)≤ad(Az,Bw)d(Az,Sz)d(Bw,Tw)+

cd(Az,Sz)d(Bw,Tw)d(Az,Tw)+dd(Az,Sz)d(Bw,Tw)d(Sz,Bw)=bd3(z,w).

注6如果在定理1中取k=1，则得度量空间中三次方压缩映象的一个新结果. 如果在定理1中取c=d=0，则得文[12] 中的压缩映象类型，可见定理1不仅映象类型比文[12] 中广泛，而且还将结果扩展到更一般的b-度量空间之中.

推论1设(X,d)是完备b-度量空间，{Ti}i∈I(I是指标集，I的势不小于2)是X上的自映象族，A,B是X上的自映象，若A,B,{Ti}i∈I满足TiX⊂BX,TiX⊂AX(∀i∈I), 且∀x,y∈X，∀i,j∈I，有

d3(Tix,Tjy)≤ad(Ax,By)d(Ax,Tix)d(By,Tjy)+

cd(Ax,Tix)d(By,Tjy)d(Ax,Tjy)+dd(Ax,Tix)d(By,Tjy)d(Tix,By).

(i)Ti,A之一连续，且(Ti,A)是(P)型相容的，(Ti,B)是弱相容的(∀i∈I)；

(ii)Ti,B之一连续，且(Ti,A)是弱相容的，(Ti,B)是(P)型相容的(∀i∈I)；

(iii)A,B之一为满射，且(Ti,A)和(Ti,B)都是次相容的(∀i∈I).

证明对任意的i,j,m∈I,i≠j≠m，由定理1知A,B,Ti,Tj存在唯一的公共不动点zij，A,B,Ti,Tm存在唯一的公共不动点zim，而由压缩条件我们知道

d3(zij,zim)=d3(Tjzij,Tmzim)≤ad(Azij,Bzim)d(Azij,Tjzij)d(By,Tmzim)+

bd3(zij,zim).

注7如果在定理1和定理2中取：1)S=T；2)A=B；3) S=T且A=B，我们均可得到新的结果.

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收稿日期：2015-06-26

基金项目：国家自然科学基金项目(11071169)；浙江省自然科学基金项目(Y6110287).

通信作者：谷峰(1960—)，男，教授，主要从事非线性分析及应用研究.E-mail：gufeng99@sohu.com

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.04.012

中图分类号:O177.91MSC2010：47H10；54H25

文献标志码:A

文章编号:1674-232X(2016)04-0401-07

A New Common Fixed Point Theorem for Third Power Type Contractive Mapping inb-metric Spaces

LI Hedong， GU Feng

(College of Science， Hangzhou Normal University， Hangzhou 310036， China)

Abstract:This paper introduced compatible mappings of type(P) in b-metric spaces，and discussed a new third power type contractive condition. By using the compatible mappings of type(P) and weakly compatible mappings，it proved a new common fixed point theorem. Meanwhile, the existing conclusions in metric spaces were generalized and improved.

Key words:b-metric spaces；common fixed point；compatible mappings of type(P)；weakly compatible mappings；third power type contractive mapping