余立婷，杜乃林

(武汉大学数学与统计学院, 湖北 武汉 430072)



关于二元幂等矩阵多项式的群逆

余立婷，杜乃林

(武汉大学数学与统计学院, 湖北 武汉 430072)

摘要：利用幂等矩阵和核空间的性质, 讨论了复数域上两个幂等矩阵P和Q在条件(PQ)n=(PQ)nP下的一类矩阵多项式的秩和群逆的相关问题, 并且得到了其可逆的一些充要条件.

关键词：群逆; 幂等矩阵; 可逆性

0引言与记号

近年来,幂等矩阵多项式在代数学和统计学中出现了一些令人关注的应用,引发了人们对这种形式的矩阵加以研究的兴趣,特别是对这类矩阵的秩和群逆(包括逆)的研究工作得到了较多的结果[1-14].

考虑复数域上两个p阶幂等矩阵P和Q(P2=P,Q2=Q)的常数项为零的m次多项式,其一般规约形式为

T=x1P+y1Q+x2PQ+y2QP+…+xm(PQ)kmPδm+ym(QP)kmQδm,

其中km,δm都是非负整数,满足2km+δm=m且0≤δm<2.本文研究形如T这类矩阵的群逆及其相关问题,意在把前人的工作推广到一个统一的结果.

让我们回顾这方面的已有主要结论.2004年,文献[1]证明了T=x1P+y1Q可逆的充要条件是P-Q可逆.2006年,文献[2]得到了T=x1P+y1Q的秩与系数x1,y1的选取无关.在此基础上,2010年,文献[3]研究了矩阵多项式T=x1P+y1Q+x2PQ在一定条件下的秩与系数的关系,推广了前人的结果.2014年,文献[4]在幂等矩阵P,Q满足PQP=PQ的条件下,得到了T=x1P+y1Q+x2PQ+y2QP的群逆的具体表达式.文献[5]给出了分别在条件(PQ)2=(QP)2以及(PQ)2=0下,T=x1P+y1Q+x2PQ+y2QP+x3PQP+y3QPQ+x4(PQ)2的群逆和可逆的充要条件.2013年,文献[6]在Hilbert空间上,得到了在条件(PQ)2=(PQ)2P下,T=x1P+y1Q+x2PQ+y2QP+…+x4(PQ)2+y4(QP)2可逆的一些充要条件,给出了群逆存在的条件,推广了前人的结论.

复数域上幂等矩阵P,Q在条件(PQ)n=(PQ)nP下构成的这种矩阵多项式可以化简为

T=x1P+y1Q+x2PQ+y2QP+…+x2n(PQ)n+y2n(QP)n+y2n+1(QP)nQ.

(1)

简单计算可知幂等阵P,Q在满足(PQ)n=(PQ)nP时包括以下的特殊情形:

(i)PQP=PQ(参见文献[4]);

(ii)(PQ)2=(QP)2,或(PQ)2=0(参见文献[5]);

(iii)(PQ)2=(PQ)2P(参见文……