高瑛俏，沈梦佳，孙宇梁

（湖州师范学院理学院，浙江湖州313000）

模拟离子在缓冲气体中运动的硬球碰撞模型

高瑛俏，沈梦佳，孙宇梁

（湖州师范学院理学院，浙江湖州313000）

为了研究RFQ冷却聚束器、彭宁阱等核物理实验设备中离子的运动情况，从大学物理课本中的理想气体的微观模型出发，建立了用于模拟离子在气体分子中运动的硬球碰撞模型.该模型通过计算离子在运动过程中与气体分子的碰撞概率、碰撞后的运动速度，以及大量次数的模拟来研究离子在气体中的运动情况.通过比较模拟结果和实验数据，得出模型适用于离子能量较低（低于约5 e V/u）的情况，这是因为模型中离子与气体分子的作用仅被当作弹性碰撞来处理.RFQ冷却聚束器、彭宁阱等核物理实验设备中离子的入射能量在模型的适用范围内，因此使用硬球碰撞模型并考虑设备所产生的电磁场对离子的作用，可研究离子在这些设备中的运动情况.

离子；缓冲气体；硬球碰撞；适用范围

在核物理研究领域，一些实验设备在运行时需要对离子进行冷却.由于缓冲气体具有将离子冷却至其热力学温度的特性，而且实现方法相对简单，因此缓冲气体冷却是诸多实验设备最常采用的冷却方法.例如，在缓冲气体和四极交变电场的共同作用下，RFQ冷却聚束器可实现降低束流能量、能散和发射度的效果［1-4］，用于原子核质量精确测量的彭宁离子阱也是通过缓冲气体和激发场的作用改变离子的运动状态［5］.在研制这些实验设备之前，需对设备运行的整个过程进行模拟，通过在模拟过程中不断调试确定出运行时所需设定的各项参数［6］.为了在模拟过程中体现缓冲气体对离子的作用效果，需要建立离子在缓冲气体中的运动模型.

在《大学物理》课程的《气体动理论》这一章内容里，为了求得理想气体的压强公式以及与大量分子运动有关的一些物理量的平均值（如平均能量、平均速度、平均碰撞次数等），建立了一个理想气体的微观模型，该模型提出以下几点假设［7］：①把分子视为质点；②忽略了分子间的长程力；③分子的动能较低时，把分子间的碰撞均视为完全弹性碰撞；④分子的运动遵从经典力学的规律.在此微观模型的基础上，可以建立一个理论模型，模拟离子在气体中运动的过程.因为模型中离子与气体分子的碰撞均被视为完全弹性碰撞，所以把该模型称为硬球碰撞模型.

1 建立模型

用硬球碰撞模型对离子在气体中的运动进行模拟时，需执行一定数目的时间间隔.在每一个时间间隔中，进行图1中所示的几个步骤：计算发生碰撞的概率、判断是否发生碰撞、离子做匀速直线运动直至下一时间间隔（若发生碰撞需计算碰撞后离子的速度，碰撞不发生则保留之前的速度）.每个时间间隔的时长被称为时间步长（d t），d t越小，模拟的精度越高，当然计算量也越大.这里分别对几个步骤进行介绍.

Fig. 1 The flow chart of the hard-sphere collision model

1.1 计算碰撞概率和判断碰撞是否发生

课本已推导得到，分子平均碰撞次数（单位时间内一个气体分子和其它气体分子碰撞的平均次数）为：［7］

其中：d为气体分子的有效直径；u-为某一气体分子相对其他分子运动的平均速率；n为气体分子数密度.若换成是离子在气体中的运动，它的平均碰撞次数应当为：

其中：rion、rgas为离子、气体分子的范德瓦尔斯半径；c为离子相对气体分子运动的平均速率.因为气体分子的速率呈Maxwell分布，所以c值要由积分求平均得到：

令在一个时间步长的时间里离子发生碰撞的概率为f.因为在一个时间步长里，做匀速直线运动的离子移动距离为：

而离子在移动距离d x后，碰撞概率的增加量d f与1-f的比值，应等于d x与平均自由程的比值：

从而得到发生碰撞的概率为：

模拟时用rand（）函数产生0～1的随机数，当随机数小于f时碰撞发生.

1.2 计算碰撞后离子的速度

离子入射到气体中后，与离子发生碰撞的气体分子的运动速度不仅是服从Maxwell分布，而且其分布概率还与离子相对气体分子的速度v'ion=vion-vgas成正比，即成正比，即

因此，可用这样的方法产生与离子发生碰撞的气体分子的速度：先按Maxwell分布产生一个速度vgas，再决定是否采纳这个速度，采纳这个速度的概率与vion-vgas的大小成正比.

引入参数R表示离子与气体分子的碰撞程度，R等于x（如图2所示，即离子与气体分子的质心距离在v'ion的垂直方向上的投影）与离子、气体分子半径之和的比值.R的取值范围为［0，1），0表示离子与气体分子对心碰撞，1表示两者擦边而过.R的概率密度f（R）是与2πR d R（即半径为R的圆环面积）成正比的，乘以归一化常数后得f（R）=2R，知道概率后即可通过产生随机数来产生R的值：

因为R=1时离子与气体分子擦边而过碰撞不发生，所以为了不让R等于1，在式（9）中乘以0.999 9.令θ为碰撞时v'ion方向与离子原子质心连线的夹角，有：

Fig. 2 The geometrical illustration of ion and gas molecule's collision

但仅有θ还不能完全确定碰撞时离子的运动方向，因此用随机函数产生另一个方向角：

离子相对气体分子的运动速度为v'ion在质心连线方向上的分量为vr=v'ioncosθ，在垂直质心连线方向上的速度分量为vt=v'ionsinθ.由动量守恒和能量守恒可得：

解得碰撞后离子相对气体分子的运动速度在质心连线方向上的分量为：

由两个方向角θ和φ就可以推得碰撞后离子各个方向的速度分量.

1.3 进行大量的模拟求平均值

大量分子作热运动时具有一种有别于力学规律性的统计规律性，因此可以用统计的方法求出与大量分子运动有关的一些物理量的平均值，即进行大量的模拟，把得到的数据求平均值，进而从模拟结果中得出结论.建立好理论模型后，需要编辑程序在计算机上运行，SIMION 8.0是用来模拟离子运动的专业软件，运行时可画出离子的运动轨迹［8］.此外，用Mathematica、C++、Forture等软件也可以编程进行模拟.

2 确定模型适用范围

模型建立后，为了确定模型的适用范围，需把模拟得到的结果与实验测量的结果进行比较，这些比较量可以是离子的射程、能损、偏转角度等.射程为离子从入射到最终停止在气体中所经过的路程，但由于气体分子的热运动以及离子与气体分子的不断碰撞，离子不可能完全静止下来，因此取离子从入射到达到热运动速度时所经过的路程为射程.由于目的是确定模型适用的离子能量区间，而不对气体压强（或密度）进行专门的考虑，定义阻止距离（Stopping range）这一概念，它等于射程乘以气体密度，这样就消除了气体压强（或密度）的因素.RFQ冷却聚束器、彭宁阱等设备通常用氦气作为缓冲气体［1-5］，因此选取氦气作为模拟的气体对象，另选择40Ar+、133Cs+、201Hg+分别代表较轻质量、中等质量和很重质量的三种离子.图3是模拟结果与实验数据的比较，横坐标是离子的每核子入射能量，纵坐标为阻止距离，模拟得到的数据点的误差来源于数据的统计误差.由SRIM软件［9］计算得到的数据被作为“实验数据”使用（Paul and Schinner把收集到的大量实验数据与SRIM计算结果进行比较，发现对于所有不同种类的离子、在不同的能量区域，SRIM计算结果与实验数据都符合的很好［10］）.从图3中可以看出，在离子能量低于约5 eV/u的时候，硬球碰撞模型模拟得到阻止距离与SRIM的数据符合得比较好，也就是说，硬球碰撞模型可以用于模拟能量小于5 eV/u的离子在He气中的运动.模型不适用于更高的能量范围是由于当能量更高时，离子与气体分子的作用不仅仅是简单的弹性碰撞，还存在其它的相互作用，如分子间的长程相互作用、离子对气体分子的电离和激发作用、离子与气体分子的原子核间的库伦作用和碰撞（弹性和非弹性）等.因此，若想将模型的适用范围扩展到更高的能量范围，需在模型中添加这些相互作用.RFQ冷却聚束器、彭宁阱等核物理实验设备中离子的入射能量在模型适用的能量范围内［1-5］，因此使用该模型并考虑设备所产生的电磁场对离子的作用后，可研究离子在这些设备中的运动情况.

Fig. 3 The stopping ranges of three ions in He- gas as a function of ion's energy per nucleon

射程（R）是较容易通过模拟得到的数据量，但通过比较射程来确定模型适用范围易产生误差.这是因为，要得到离子的射程，需要模拟离子由初始能量降到热运动能量的整个过程，若某种模型在低能范围是不适用的，则可能对从整个过程模拟得到的射程值产生影响.比如说，模型在能量E 2附近是不适用的，对于离子从能量E 1（E 1＜E 2）降到热运动能量所走过的路程（射程），实际值和模拟得到的值分别为x1，x'1（x1≠x'1）；对于离子从能量E 2降到能量E 1所走过的路程（射程），实际值和模拟得到的值分别为x2，x'2（x2≠x'2），可能出现x1+x2≈x'1+x'2的情况，从而得出在能量E 2附近模型是适用的错误结论.若想更精确的确定出模型的适用范围，可通过比较E-d E/d x曲线来确定范围.但d E/d x（离子行进单位距离所损失的能量）这个数据不能直接通过模拟得到，为了得到d E/d x，需先根据射程数据拟合得到函数E（R），再把E（R）对R求导，得到d E/d x（R）.

3 离子间的库伦相互作用

在进行核物理实验时，从重离子加速器进入到RFQ冷却聚束器中的离子数目较多，在用于去除杂质离子的纯化彭宁阱中的离子数目也不只一个，对于这些情况，离子之间的库伦力是需要考虑的.因此，在模型中加入离子之间库伦力效应，模拟结果将会更符合实际情况.

为了在模型中添加入离子之间库伦力的效应，在程序每运行一个时间步长后，读出每个离子的位置，根据离子的位置计算出该时刻其余离子对所研究离子的总的库仑力作用，在下一个时间步长里，认为该库伦力是不变的，直到下一个时间步长结束，再重新确定所有离子位置后再算出新的库仑力，如此循环.该方法所考虑的库伦力效应比较符合实际情况，其误差由时间步长的大小决定.

4 总结

从大学物理课本中理想气体的微观模型出发，建立了模拟离子在气体分子中运动的硬球碰撞模型.该模型通过计算离子在运动过程中与气体分子的碰撞概率、碰撞后的运动速度，以及大量的重复模拟来研究离子在气体中的运动情况.由于只把离子与气体分子的作用当做弹性碰撞来处理，因此该模型仅适用于入射离子能量较低（低于5 eV/u）的情况.RFQ冷却聚束器、彭宁阱等核物理实验设备中离子的入射能量在该范围内，因此使用硬球碰撞模型并考虑设备所产生的电磁场对离子的作用后，可研究离子在这些设备中的运动情况.若想将模型的适用范围扩展到更高的能量范围，需在模型中添加电离、激发、长程等相互作用.

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On the Hard-Sphere Collision Model Used to Simulate the Ion's Motion in Buffer Gas

GAO YINGqiao，SHEN Mengjia，SUN Yuliang（School of Science，Huzhou University，Huzhou 313000，China）

In order to study the ion's motion in Radio frequency quadrupole（RFQ）cooler and buncher and Penning trap，a hard-sphere collision model was built base on the ideal gas's microscopic model. The model can be used to simulate and study the ion's motion in gas by calculating the probability of collision，velocity after the collision and a large number of simulations.By comparing the simulated data with experimental data，it found that the model should be used when the ion's energy is less than 5 eV/ u，because the effect of ion and gas was treated as elastic collision.The energy of ions in RFQ cooler and buncher and Penning trap is in range of the model's application，so the model can be used to study the ion's motion in these equipments after considering the effect of the electromagnetic field produced by equipment.

ion；buffer gas；hard-sphere collision；range of application

O571.6

A

1009-1734（2016）04-0035-05

［责任编辑 邵圣文］

2016-03-12

国家自然科学基金（11405054）；湖州师范学院“大学生创新创业训练计划”（2015-124）.

孙宇梁，讲师，博士，研究方向：原子核物理.E-mail：sunyl@hutc.zj.cn