陈鹏勇，吕小芬

（湖州师范学院理学院，浙江湖州313000）

Besov空间到Bloch型空间上的复合积分算子

陈鹏勇，吕小芬

（湖州师范学院理学院，浙江湖州313000）

讨论了Bloch型空间以及Besov空间到小Bloch型空间上复合积分算子的有界性和紧性特征，得到了该算子为有界算子和紧算子的充要条件.

Besov空间；Bloch型空间；复合积分算子

MSC 2010：47B38

0 引言

设H D（）表示单位圆盘D上全纯函数的全体，H D，D（）表示D上全纯自映射的全体.给定0＜p＜∞，D上的Besov空间Bp定义为：

给定［0，1）上的连续正值函数μ，若存在常数0≤δ＜1，0＜a＜b，使得

则称μ为正规权函数.进一步，令μ（z）=μ（z ），∀z∈D.定义D上的μBloch型空间

定义小μBloch型空间βμ，0为：

μBloch型空间最早是由胡教授和王教授引入的［1］.易知，在范数‖.‖βμ下βμ是Banach空间，且βμ，0为βμ的闭子空间.事实上，当μ（z）=（1-z2）α时为α-Bloch空间［2-3］.进一步地，若α=1，即为经典Bloch空间［4-5］.

给定g∈H（D）和φ∈H（ D，D），定义H（D）上的复合积分算子Tg，φ为：

注意到，取φ（t）=t，Tg，φ就是已被大家广泛研究的广义Cesaro算子［58］等.在文献［9］中，刘永民等研究了F（p，q，s）空间到对数Bloch空间上复合积分算子Tg，φ的有界性和紧性.于燕燕在文献［10］中讨论了对数Bloch空间到Bloch空间上算子Tg，φ的特性.本文主要研究讨论Besov空间到Bloch型（以及小Bloch型）空间上算子Tg，φ的有界性和紧性.

在本文中，C表示与所研究的函数无关的正常数，且每处出现未必同一，符号A≈B表示存在C使得

1 主要结论

下面研究Besov空间到Bloch型（以及小Bloch型）空间上复合积分算子Tg，φ的有界性和紧性.首先给出紧算子的判别方法.

引理1［11］设T：X→Y是有界线性算子，若｛fj｝⊆X满足：①‖fj‖X≤C；②当j→∞时，fj在D上内闭一致收敛于0，总有‖Tfj‖Y=0.则T：X→Y为紧算子.

定理1 设g∈H（D），φ∈H（ D，D），0＜p＜∞，则

（1）Tg，φ：Bp→βμ为有界算子当且仅当

进一步地，

（2）Tg，φ：Bp→βμ，0为有界算子当且仅当→βμ有界且

（3）Tg，φ：Bp→βμ（或βμ，0）为紧算子当且仅

证明 （1）对于任一f∈Bp，由文献［12］可知：

所以

反之，若Tg，φ：Bp→βμ为有界算子.对于任意w∈D，令

则

由文献［12］可得fw∈Bp，且‖fw‖p＜∞.因此，由Tg，φ的有界性得：

而

因此

由上述证明可得：

成立.

（2）设Tg，φ：Bp→βμ，0为有界算子.由（1）可知，Tg，φ：Bp→βμ是有界算子.取f≡1，则f∈Bp，Tg，φ1

反之，若Tg，φ：Bp→βμ为有界算子，且limμ（z）g（φ（z））=0.故对任意的多项式p，有：

z→1

由于βμ，0是βμ中的一个闭子集，可知Tg，φBp⊂βμ，0.所以Tg，φ：Bp→βμ，0为有界算子.

（3）首先证明Tg，φ：Bp→βμ为紧算子.由于，则∀ε＞0，∃δ∈（0，1），使得当z＞δ时，总有：

设｛fk｝k∈ℕ是Bp中的范数有界序列，且当k→∞时，fk在D上内闭一致收敛于0.由于fk是全纯函数，且｛fk｝在D上内闭一致收敛于0，当k→∞时，有内闭一致收敛于0.所以存在自然数K，对所有的k＞K都有：

其中C与ε无关.因此

下面证明Tg，φ（Bp）⊂βμ，0.事实上，∀f∈Bp，有：

所以Tg，φf∈

反之，任取｛zk｝k⊂D满足|zk|=1.令

则｛fk｝⊂Bp且‖fk‖p≤C.而当z ≤δ，δ∈（0，1）时，

所以当k→∞时，f'k在D上内闭一致收敛于0，从而可知fk在D上也内闭一致收敛于0.又因为Tg，φ是紧算子，所以‖Tg，φfk‖βμ→0（ k→∞）.因此当k→∞时，

由于zk｛｝是任取且.定理得证.

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Composition Integral Operators from Weighted Besov Space to Bloch Space

CHEN Pengyong，LYU Xiaofen
（School of Science，Huzhou University，Huzhou 313000，China）

In this paper，we discuss the boundedness and compactness of the composition integral operators from Besov spaces to Bloch spaces or from Besov spaces to little Bloch spaces，and the conclusion is the composition integral operators become the necessary and sufficient conditions for these operators to be bounded or compact.

Besov spaces；Bloch spaces；composition integral operators

O174.56

A

1009-1734（2016）04-0014-04

［责任编辑 高俊娥］

2016-03-10

国家数学天元基金（11526089）；浙江省自然科学基金（LY15A010014）.

吕小芬，副教授，研究方向：函数空间与算子理论.Email：lvxf@zjhu.edu.cn

MSC 2010：47B38