金启胜

(安庆职业技术学院 公共基础部，安徽 安庆 246003)



一类算子方程边值问题的可解性

金启胜

(安庆职业技术学院 公共基础部，安徽 安庆 246003)

摘要：利用泛函的极小函数研究了一类算子方程边值问题的可解性，得到对称正算子方程有解的充分必要条件，以及泛函存在极小函数的充分条件。并对三种边值问题的实例进行了验证。

关键词：对称算子；正算子；正定算子；极小函数；Green第二公式

0引言

(1)

的线性定解问题。其中L,Lj是线性微分算子，f(x)是已知函数。

此线性定解问题对应于Hilbert空间H中一个线性算子方程Au=f(x)，其中A的定义域DA是H的一个线性稠密子集合。比如当H=L2(Ω)时，取

Au的值与Lu的值在DA上是相同的。故求解方程(1)就是在DA上求解方程：

Au=f(x)。

定义1对任意的u,v∈DA，如果算子A满足等式(Au,v)=(u,Av)，则称A为对称算子。

定义2设A是定义在Hilbert空间H的某一线性稠密子集DA上的线性算子，如果对DA中任意元素u，有(Au,u)≥0且等号成立时当且仅当u=0，则称A为正算子。

定义3设A是DA上线性算子，如果存在常数γ>0，对任意的u∈DA都有(Au,u)≥γ2(u,u)，则称A是DA上的正定算子。

在DA上引入新内积[u,v]=(Au,v)；和新内积对应的新范数记为：

根据算子A的正定性可知，原空间H和新空间H*的范数满足：‖u‖‖u‖*。

2主要结论及证明

定理1 若A为正算子，则方程Au=f(x)至多有一个解u∈DA。

证明如果Au=f(x)有两个解u,v，则Au=f(x)，Av=f(x)。二式相减得：

A(u-v)=0，所以(A(u-v),u-v)=0，又A为正算子，所以u-v=0，即u=v。

定理2设A为对称正算子，若方程Au=f(x)有解u0∈DA，则u0必是泛函：

F(u)=(Au,u)-2(u,f)

(2)

的极小函数；反之，若u0∈DA是F(u)的极小函数，则有Au0=f(x)。

证明泛函F(u)和算子A的定义域相同。设Au0=f(x)，对任何v∈DA，v≠u0，令η=v-u0，因为DA是线性子集合，则η∈DA。根据算子A的对称性……