牛华伟,兰奇逊

(1. 平顶山教育学院 数学系,河南 平顶山　467000; 2. 河南城建学院 数理系,河南 平顶山　467000)



“压缩映像”原理及其应用

牛华伟1,兰奇逊2

(1. 平顶山教育学院 数学系,河南 平顶山467000; 2. 河南城建学院 数理系,河南 平顶山467000)

摘要：压缩映像是刻画度量空间与度量空间之间的一种特殊的函数关系。在函数满足一定的条件下,根据压缩映像原理可以求出函数唯一的不动点。基于该性质对一类具有递推形式的数列的极限问题进行研究，用具体实例说明压缩映像原理在求解数列极限问题中非常有效。

关键词：递推数列;压缩映像;极限

1“压缩映像”原理

定理1对任意数列{xn},若存在常数r,使得∀n∈N,恒有

0

证明

由Cauchy准则[2]知{xn}收敛。

定理2若数列{xn}利用递推公式给出

xn+1=f(xn),

n=1,2,…,f(x)为某一可微函数,且∃r∈R,使

(∀x∈R),则{xn}收敛。

n=2,3,…,因此{xn}收敛[4]。

2“压缩映像”的应用

证明易知1≤x1<2,假设1≤xn<2,则

所以∀n∈N,

1≤xn<2。

由定理2知{xn}收敛。

因为{xn}单调递增,所以a=0舍去。故

问题2设x1>0,

解由题意知xn>0,且当x>0时,令

因为a>1,知

(∀x>0),所以由定理2知{xn}收敛。

两边取极限,可得

问题3若f(x)在区间I=[a-r,a+r]上可微,

且

令x1=f(x0),x2=f(x1),xn=f(xn-1),

证明

x*为方程x=f(x)的根。

证明已知x0∈I,则

(ξ∈(xn,a)),又

且

所以

因此xn+1∈I。即一切xn∈I。

应用微分中值定理,∃ξ在xn,xn+1之间

(0<α<1),由定理1知{xn}收敛。又因为f(x)连续,在xn=f(xn-1)里取极限知{xn}的极限x*为x=f(x)的根。

3应用中的典型错误

例设f(x)映[a,b]为自身,且

任取x1∈[a,b],令

求证数列有极限x*,x*满足方程

f(x*)=x*。

证明因为

所以f(x)连续。

又因为f(x)映[a,b]为自身,所以当xn∈[a,b]时,由

知xn+1∈[a,b]。又x1∈[a,b],故恒有xn∈[a,b]。

下面证{xn}具有单调性。

若x1≤f(x1),则

而任一n,当xn-1≤xn时,

即

f(xn-1)-f(xn)≤xn-xn-1,

xn-1+f(xn-1)≤xn+f(xn),

两边同除以2,

又

故有

所以{xn}单调递增。

同理,当x1≥f(x1)时,可证明{xn}单调递减。

由单调有界原理知{xn}有极限,在

中取极限,知{xn}的极限x*满足

f(x*)=x*。

误解由

可得

由压缩映像原理知,{xn}收敛,极限存在。但实际上此……