☉江苏省常州市金坛区白塔中学　何丽华



从“一题多解”走向“结构洞察”
——以南通通州模考卷第28题为例

☉江苏省常州市金坛区白塔中学何丽华

一、写在前面

根据笔者多年来对全国各地中考数学卷的收集、分类、研究发现，以二次函数为背景的中考把关题占相当大的比例，不少二次函数问题除了初始设问还与函数有关，之后的一些较难设问往往以平面几何中较为复杂的相似构造作为解题障碍点，使得函数题的函数味道淡了，几何味浓了.但是近来在网上检索发现江苏省南通市通州区中考一模试卷的把关题却能很好地兼顾函数味、数学味，成为一道原创度很高的函数综合题，本文先呈现该题及思路突破，最后给出相关教学和命题思考，供研讨.

二、模考题的思路突破与解后反思

模考题（2016年4月江苏省南通市通州区模考卷，第28题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-3a的对称轴为直线x=1，且经过点（0，3）.

（1）求a、b的值；

（3）若抛物线与x轴交于A、B两点，C是x轴下方抛物线上的一点，∠ACB=45°，求点C的坐标.

（2）由（1）可知：a=-1，b=2，则抛物线为y=-x2+2x+3.联立抛物线、直线的解析式后消元可得3），整理成关于x的一元二次方程：mx2-（2m+1）x-3m+3= 0，该方程两实数根为x1、x2，由韦达定理（根与系数的关系），得，于是，即动点M（m，n）就是，这样我们就获得了重要进展，它所形成的曲线为再把分别代入曲线中，可得y0=1，x0=2.最后根据待定系数法，设直线PQ的解析式为y=px+q，则解得即

（3）可以先构思草图分析，如图1，设点C在抛物线上，连接AC、BC，则∠ACB应该为45°.

图1

然而这个问题的思路是困……