☉江苏省张家港市鹿苑中学　吴礼红



学生错误，如何“诊疗”
——由一次网络研讨说起

☉江苏省张家港市鹿苑中学吴礼红

一、缘起

近几年来网络的普及，特别是QQ超级大群的建立，为广大数学教师交流和研讨提供了一个非常重要的平台.网络上有很多初中数学教师超级大群，老师们可以突破时空限制，围绕各自的教学实践展开交流研讨，这成为老师们追求专业精进的重要教研方式，其作用不容小觑.对待学生的错误，教师不仅要“纠错”，更要“究错”.本文记录了一次针对学生计算出错的研讨片断，并围绕“如何帮助学生究错”给出进一步的思考与建议，供研讨.

二、学生错例及研讨片断

师1（皖马鞍山吴老师）：请教大家，学生老是犯这样的错误，怎么样纠正？这种错误的成因何在？（错误解法如下）

案例1：解方程：x2-4x-1=0.

这个学生还是个小女孩，但是总是犯这样的错误，从初一到现在初三，一直没找到好的方法指导她.

师2（山东诸城王老师）：让学生推理公式，积累经验.

师3（江苏常熟张老师）：出错的原因是做题不细心导致符号出错.有些同学以为只要记住公式就会做对题目.这类学生眼高手低，做题时追求速度，忽视答题的正确率.

师4（上海赵老师）：为什么这样处理，这个学生应当是有自己的想法与考虑的，听听她是怎样想的，再寻求解决之道可能会更有效一些.找个机会，试着不让她写过程，而是让她说解题过程，了解她的思维方式.另外，也可以让她整理自己的错题，归纳出错的原因，加深她对这类错误的敏感度，不知是否有帮助？

师1：谢谢，我试试.

三、“诊疗”意见

学生的错误如同病例，需要教师做出精准的诊断评估，然后才开出治疗处方.从上面的研讨片断中可见，两位老师都对学生的错误表示出耐心，也想把其中的错因弄清楚，但是仍然没有触及学生错误的本质.笔者认为，这位学生做错的原因从表面上看是粗心导致运算结果错误，究其根本，错因在于跳过程！套用交通安全的宣讲材料所说，“十次事故九次快”，这位学生的错误也是“十次算错九次快”.让我们先来看看苏科版数学九年级上册的例题是如何规范求根公式法的解法步骤的.

案例2：解方程：x2+x-1=0.

解：a=1，b=1，c=-1，b2-4ac=12-4×1×（-1）=5，

对比一下上文中学生的错误，她跳过了明确a、b、c的过程，跳过了计算b2-4ac的过程，只是默写了求根公式，但是在代入求值时口算或心算过程中符号出错，建议让该学生重新体会教材上的规范表达，再让她规范步骤，如下所示.

解：a=1，b=-4，c=-1，b2-4ac=（-4）2-4×1×（-1）=20，

简评：可以发现运算的成功不仅需要对算理、算法的理解，还需要对运算步骤的执行，而不是盲目跳步骤、跳过程.规范表达的习惯往往也是学生严守规范的需要.

四、想起一个“高层次”学生的错例

由上面的研讨，笔者联想到近期本校一位初一优秀学生在期中考试中的错例如下所示.

案例3：某校计划在“五一”期间组织教师到某地参观旅游，参加旅游的估计有10～25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人800元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客7.5折优惠，乙旅行社表示可免去一位游客的旅游费用，其余游客8折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？

学生的解答如下（截图）.

错例故事：这是初一期中考试卷中一道应用题，该生这道大题8分全失，学生找老师申诉，老师粗看一下，认为他的错误在于没有用到本题中的一个重要条件800元，所以解答无效……这位优秀的学生继续把800元补充到列式中，仍然演算出上述解答，百思不得其解.那么该如何评价这位学生的错误解答呢？是那个所谓的“重要条件800元”缺失吗？

诊断意见：他的错误主要在理解题意上，把员工和带队领导分开了，其实领导也属于员工之一.这种错误很隐蔽，属于高位出错，一般检查不出来.严格来说，不是数学上的问题，而是问题情境的理解.也就是说，该学生的解法根本上出发点就错了，而跟800元无关，这一点孩子认识是深刻的.所以，当人数为16时，甲、乙旅行社费用相同；当人数为17-25时，选甲旅行社费用较少；当人数为10-15时，选乙旅行社费用较少.还要顺便指出的是，该学生的解法已体现了初二函数解法的规范表达，很不错.

五、关于教学“究错”进一步的思考

1.读懂学生的错误需要贴近学生的思维

学生的解法出错，往往是一系列因素造成的，有时是对概念或题意的理解出错，有时是对算理、算法的遗忘造成的，还有的是混淆公式或符号出错造成的.需要结合问题的特点、学生的解法步骤等综合评价，特别是要贴近学生思维，尝试理解学生的可能想法或念头，如果条件许可，应该让学生参与答辩，通过追问，暴露他们的想法，特别是基于题目中哪个关键信息下手的，如何获得思路，为什么这样思考等，在充分理解学生的思考和思维风格之后，可以综合诊断评估学生出错的原因.

2.究错的关键在于引导学生回到“起点”思考

笔者认为，究错教学的关键在于引导学生回到问题的“起点”，比如仔细阅读问题，如案例1中，引导学生仔细辨认一元二次方程的各项系数，然后逐一代入，按步计算，而不是随意跳步骤.比如案例3中，引导学生仔细读题，让学生辨析员工与领导之间的从属关系，回到理解题意上找出错误的本质.有些问题还需要“回到概念”去究错，比如一元二次方程求根公式运用的前提是先把方程转化为一般式，然后计算根的判别式，在确认根的判别式为非负数后，才能代入求根公式.

3.学生错例的“诊疗”也是专业基本功之一

经由南京大学哲学系郑毓信教授在《人民教育》上的推介，我们知道了数学教师的专业基本功主要是：善于举例、善于提问、善于优化.长期以来，我们坚守对“三字一话”的通式基本功的研讨，往往忽视对数学教师专业基本功的探讨，这值得我们深思.再结合本文推介的学生错题的“诊疗”来看，我们这些在一线教学的教师还需要一种重要的基本功，就是对学生的错例能做出精准“诊断”和有效“治疗”.而这项基本功的修炼也需要“三个理解”，即章建跃博士提出的理解数学、理解教学、理解学生.本文所列举的案例还不够丰富，思考也是初步的，期待更多同行在平时的教学中积累案例，推介优秀的“诊断”与“治疗”方案，丰富这个方面的研究案例.

参考文献：

1.杨裕前，董林伟.义务教育课程标准教科书·数学（九年级上册）［M］.南京：江苏科学技术出版社，2013.

2.郑毓信.善于举例［J］.人民教育，2008（18）.

3.郑毓信.善于提问［J］.人民教育，2008（19）.

4.郑毓信.善于优化［J］.人民教育，2008（20）.

5.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013（6）.Z