☉江苏省如东县实验中学　朱　玲



概念新授应重视“关联旧知”的梳理
——基于两则“二次根式”的引入判断的分析

☉江苏省如东县实验中学朱玲

概念教学是一项“推陈出新”的技术活，“推陈”并不是对旧知的摒弃，而是有目标地继承旧知中对后续学习影响较大的内容，从而引出新的、更高层面的概念.因此，概念新授应重视与新知关系较为密切的旧知（下称“关联旧知”）的梳理，力求在教学中让新概念合理而有效地“扎根”于关联旧知之上，实现新旧知识之间的“无缝对接”.现结合人教版八年级下册“16.1二次根式”的两则差别明显的引入片断，谈谈笔者对此的看法，希望能给大家的教学带来启示.

一、“二次根式”两则引入片断

引入片断1

问题设计：

（1）回顾平方根的定义并说说其表示方法；

（2）回顾算术平方根的定义并说说其表示方法；

（3）填空：

①一个正数有____个平方根，它们_____；

②0的平方根是_____，_____没有平方根.

过程简述：教师连续投影呈现如上三题，请学生作答.由于平方根和算术平方根的概念离学生“较远”，很多学生已经淡忘，在回答第（1）题和第（2）题时，不少学生给出了很不规范的结论，教师十分着急，为了推进教学，教师立即将正确的答案进行了投影展示.在回答第（3）题的第②小题时，一生作答：-1没有平方根.教师一愣，然后问：填-1，完整吗？学生齐答：不完整！教师追问：那该填什么呢？一名学生给出了“负数”的答案，教师立即将其投影到空格中.至此，三道问题回答完毕，教师将所有正确答案全部呈现出来，然后就“算术平方根的定义及其表示形式”进行了进一步的探索，引出二次根式的定义及表示形式.

引入片断2

问题设计：用带有根号的式子填空：

（1）7的算术平方根是__________；

（2）直角三角形的两条直角边分别为5和4，斜边为_________；

（3）面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为______；

（4）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m；

（5）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h= 5t2，如果用含有h的式子表示t，则t=_______.

过程简述：学生先独立完成上面的填空，教师巡视指导，搜集典型问题.待完成解答后，学生在小组中展开交流，教师继续巡视并参与部分小组的交流.在接下来的全班交流中，教师紧扣住“要我们求什么”（一个正数的算术平方根），“该怎么去求”（开平方），“仅从式子看，开平方的结果叫什么”（原数的平方根），“有几个”（两个），“这两个数之间有怎样的关系”（互为相反数），“结果应该填什么”（算术平方根），“关于平方根你还了解哪些知识”等问题展开了追问，最终将每道题所填正确结果板书，为下一步分析式子共性特征，归纳二次根式的定义及表示形式铺垫.

二、两则片断的分析

片断1中，旧知梳理直接指向了平方根、算术平方根的定义、表示形式及性质等知识.教者采用的是背诵式梳理，即对概念本身的回顾.这对记忆的要求是很高的，如果学生在七年级下学期没有对概念进行深度背诵和记忆，想要给出三个问题的正确答案绝非易事.现实如此，教学过程中出现了几次短暂的“冷场”，教师对此早有预见，就算出现了异样的结论，教师也没有一丝惊慌，即时的追问再度将学生领到自己预设的轨道上来.在教师教学进程中，“严丝合缝”的投影展示是其教学得以推进的“法宝”，给人以“过程流畅”的观课感.然而，在接下来的新知生成时，我们就明显感觉到如此设计与实施的“弊端”了！学生对平方根、算术平方根的感知随着投影的翻转而消失，二次根式的概念教学“艰难苦涩”，完全变成了“逼迫式”灌输，学生完全处于被动接受的状态，他们无法感知到这几个概念之间的外形与“内核”之间的联系.显然，这样的教学，学生是无法深刻领会概念的本质的.

片断2中，给出的是几个简单的实际问题，让学生“用带有根号的式子填空”.解题要求十分明确，如此要求将学生的认知方向定位在“带根号的式子”上.这样的设计，开宗明义，学生在填空过程中能初步感知这些带根号的式子（即本课要研究的“二次根式”）与实际生活的紧密联系，体会本课开展的研究是十分必要的.接下来的小组交流，主要任务是核对答案，交流思路，矫正结果.教师在此过程中的巡视与指导，一方面可以帮助学生理清问题解决的过程，另一方面还能搜集教学资料，积聚全班交流的素材.到了全班展示环节，教师通过一系列与平方根、算术平方根相关问题的追问，这些对原有概念的“直击”，意在唤醒那些与本课关联密切的基础知识、基本技能、基本数学思想和基本活动经验，它们都是学生进一步学生“二次根式”的基础.教师的步步“逼问”，让学生在深刻感知旧知应用价值的基础上，明晰了新知的特点和应用方向，这对接下来的学习无疑是大有益处的.事实正如预期，下面的教学中，教师顺势引导，从这些来自于实际问题的式子中抽取出共性外形，形成了二次根式的定义与基本形式，并依托此对二次根式展开了进一步的探究.

两则片断稍加比对，我们不难发现，两位老师都很重视与本课关联旧知的梳理，但两者做法不同，效果也不一样.片断1中，教师侧重概念本身的梳理，强化了对概念的文本、符号两个维度语言的回顾，但由于对学生学情的过高估计，整个教学过程几乎都变成了教师的“独角戏”，课件的翻滚演示代替了学生个体的独立思维，旧知的梳理显然没有到位；片断2中，教师从实际问题引入，让学生“用带有根号的式子填空”，这是立足于应用之上的旧知回顾，知识的回忆有了一组很好的抓手，加之接下来的小组交流和全班交流，教师的及时引导与追问让学生所掌握的与本课时密切关联的知识被逐一唤醒，取得较好的教学效果也就在情理之中了.

三、三点感悟

1.要重视新旧概念的关联性

一般地，新的数学概念的出现都是对人的原有认知结构的充实与完善，是原有概念的进一步拓展与延伸.所以，每一个概念的产生，都离不开原有认知结构的旧知识.这些旧知识，就是维果斯基最近发展区理论中所说的“已有的认知水平”，而“可能实现的水平”就是这些基于现有知识之上的新概念.显然，这两种水平之间一定存在着某种外显或內隐的联系，这就是我们教学设计的关注点.在学生已有知识结构中，与新概念关联的知识应该是很多的，但密切程度各不相同，所以，设计教学时，应重视旧知识的筛选，要从关联旧知中筛选出与新概念关系最密切的知识，从有利于新知识“生长”的角度设置合适的导学问题和导学过程.本文中两则片断，教师的筛选都是到位的，二次根式的生长点是算术平方根，这是两位老师选择和设计导学问题的出发点，无论是立足于概念本身的梳理，还是借用实际问题的“背景式”梳理，学生的回顾都紧扣与本节课关联最密切的旧知，这样的设计是合情合理的.至于最终导学的效果，显然还与导学问题和导学过程的合理程度有着很大的关系.

2.要关注旧知唤醒的多维性

关联旧知的梳理，我们绝不是进行单一的概念梳理，当然，关注概念的文本、符号及图形叙述，这对新授概念来说是十分重要的，但这绝不是关联概念复习的唯一.从上面两则片断的教学成效来看，两者的差异是显而易见的.片断1仅重视了概念本身的梳理，将平方根、算术平方根的定义作为复习的重点，对其应用并未涉及，苦涩的概念回顾没有给教者的课堂增彩，反而给学生的后续学习带来思维上的障碍；片断2则从实际问题入手，知识的梳理与问题解决挂钩，概念的回顾不再是对知识文本或符号的藐视，而是与学生的应用经验进行了融合，这对于已经能够适度应用的数学知识来说，其成效要远远超过片断1中那种“背诵式”回顾了，何况，教者还通过自主解答、小组交流和全班交流等三个环节将旧知回顾渐次推进，每个环节迈出的一小步，都将旧知的不同方面扎扎实实地展示在学生眼前，其效果不言而喻.显见，关联旧知的回顾，应是多维度的，这种类似于片断1中的背诵式回顾应少之又少，我们的教学应多做一些“拔出萝卜带出泥”的事情，要让关联旧知的不同方面在复习中都有体现，从而为新概念的出现、生成和应用做好准备.

3.要体现旧知梳理的前瞻性

在初中生的数学认知活动中，概念的获取与应用是最为常见的.新概念是旧知识、旧经验复合叠加而成的，它是学生知识积聚与能力提升的显性表现.显而易见，新概念是随着学生认知水平的不断提升而顺次出现的.在梳理旧知时，我们应该关注到这一点，并用好这一特性，将新概念悄悄地隐藏于旧知梳理的问题情境之中.为此，我们所设计的导学问题和导学流程应有明显的前瞻性，将新知内隐于梳理进程之中应成为我们的教学设计与实施的追求.对于八年级学生来说，“二次根式”是一个新词语，但其真正的含义学生在七年级下学期就已有之，只不过因为认知发展未挑明而已.此时的再度认知，无非是对过去的知识下一个规范的定义，所以，我们的教学就应如片断2中的教师中那样，用好学生已有的知识和经验，从学生熟悉的实际问题解决出发，将要探究的概念悄悄地隐藏在问题的解决与交流之中.只要学生参与了教学的进程，那他就一定能够时刻感知这些具有共性特征的式子的应用价值.最终，给这些都有着统一“着装”的式子一个名称，就成为了学生认知发展的自然需求，新知也就随之产生.如此教学设计与实施，顺应了数学知识的内在逻辑主线和学生的认知发展规律，值得学习！

参考文献：

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.林群.义务教育课程标准教科书·数学（七年级上册）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

3.林群.义务教育课程标准教科书教师教学用书·数学（七年级上册）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

4.印冬建.突出核心主线追求有效教学——谈初中数学有效备课的做法和思考［J］.中学数学（下），2014 （1）.H

2.圆心+切点；垂径定理

例2（第24题）如图4，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上的一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF=65°，则∠E=________.

图4

图5

解析：如图5，连接BF、OF，由O为圆心，F为切点，得∠OFE=90°.

因为O为圆心，H为弦CD的中点，所以∠OHE=90°.

因为∠ACF=65°，所以∠B=65°.又因为OB=OF，所以∠AOF=130°.

在四边形HOFE中，∠E=360°-90°-90°-130°=50°.

思考：本题构造了两个直角，一个是利用圆心和切点；另一个是根据垂径定理（上题的解法2中已经使用过）.可以看出正是这两个“隐藏的直角”的出现，使得此题在“山重水复之困”时显出“柳暗花明之路”；此外，上述方法其实只添加一条辅助线即可（如图6），根据圆心角和圆周角的数量关系同样可以得到∠AOF=130°，从而解决问题；最后需要说明的是我们还可以连接BF、AF（如图7），在△GFE中解决问题.显然，图6利用了“圆心+切点”所形成的隐藏直角；图7则是利用了上文提及的“直径+所对圆周角”所形成的隐藏直角.

图6

图7

二、其他图形中的直角：平角+两个角平分线

例3（第20题）如图8，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若，则FD的长为（摇）.

图8

图9

解法1：如图9，连接EF，于是在Rt△EGF和Rt△EDF中，有EG=ED，EF=EF，所以Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）.

所以∠FEG=∠FED，FG=FD.

根据折叠的性质，可得∠AEB=∠GEB.

又由于A、E、D三点共线，所以∠BEF=90°.

又由于EG⊥BF，所以△EGB∽△FGE.

所以EG2=BG·FG=AB·FD=AE2，即

所以FD=4，故选B.

解法2：由解法1得∠BEF=90°.

解法3：根据解法1可知，在Rt△BCF中，BF=BG+GF= AB+FD=6+FD，FC=CD-FD=6-FD于是由勾股定理得，解得FD=4.

思考：解法1和解法2的实质是一样的，都需要知道∠BEF=90°，然而这是有一定的“思维含量”的；解法3没有意识到∠BEF=90°，只能结合折叠的性质，然后在Rt△BCF中运用勾股定理解决问题，比较容易想到，但是需要一定的计算量.比较上述三种解法，可以看出前两种解法体现了“少算多思”的考查风格，也符合“计算简单的方法往往需要付出逻辑思维的代价”的解题效率观，而前两种解法的优越性正是建立在隐藏的直角（∠BEF=90°）的基础之上的.

此外，在2015年武威市的中考试题中有一题与之类似，如下（有改动，原题为选择题）：如图10，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合）.现将△PCD沿直线PD折叠，是点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E.设BP=x，BE=y，则y与x的函数关系式为_________.

图10

1.张俊.发现隐圆突破解题壁垒［J］.数学教学，2015（7）.

2.王志进.解法自然三例［J］.中学数学教学参考（中），2015（7）.H