☉江苏省泰州市苏陈中学　韩新正☉江苏省泰州市智堡实验学校　吴惠平



基于认知优化教材追求自然
——对教学设计的几点思考

☉江苏省泰州市苏陈中学韩新正
☉江苏省泰州市智堡实验学校吴惠平

数学教材为学生的学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源.课堂教学是教师以教材为索引，以知识为载体，培养学生提出问题与发现问题、分析问题与解决问题能力的过程.由于教材的编写受到教材体例的限制，所以从教材到教学需要精心设计，教学既不能满足于把教材梳理一遍就称之为教学，而教学也不能抛开教材，另起炉灶.我们追求自然流畅的教学，就必须从学生现有的认知水平出发，以学生“自然想到”为着力点，通过适度调整教材，顺应学生思维，促进知识自然生长，从而实现真正意义上的“用教材教”的目的.下面笔者以最近听的一节随堂课的两个教学片断为例，谈谈对“用教材教”的几点感受，教学内容为人教版《义务教育课程标准教科书·数学》八年级上册“13.1.2线段的垂直平分线”，供参考.

一、教学片断

下面两个教学片断，教师充分尊重教材的编排体例，几乎未做任何改变直接用于教学.

片断1：这是本节课的开始部分.

教师：上节课我们学习了轴对称，并且知道线段是轴对称图形，线段的一条对称轴是线段的垂直平分线，那么线段的垂直平分线有什么性质呢？我们一起进行如下的探究，如图1，直线l垂直平分线段AB，

P1、P2、P3、…是l上的点，分别量一量点P1、P2、P3、…到点A与点B的距离，你有什么发现？

图1

学生在自己的课本上测量后，有的得出AP1=BP1，AP2=BP2，AP3=BP3，…，也有不少同学得不出它们相等.

教师：如果我们测量的数据精确到0.1，则有AP1= BP1，AP2=BP2，AP3=BP3，…，你能把你的发现用数学语言概括一下吗？

片断2：这是在探究、证明了线段垂直平分线的性质和判定之后.

教师：刚才我们已经系统地研究了线段垂直平分线的性质和判定，下面我们一起看一道例题.

例1尺规作图，经过已知直线外一点作这条直线的垂线.

已知：直线AB和AB外一点C（如图2）.求作：AB的垂线，使它经过点C.

图2

教师：大家根据教材提供的作法完成作图过程，同时思考每一步的作图理由.

作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；（3）分别以点D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.

学生通过认真看书、小组交流、教师讲解理清了作法的意义，明白了为什么直线CF就是所求作的垂线的道理.并按照老师的要求重新画图一次以巩固所学.

二、对“教学片断”的质疑

在片断1中，学生的疑问是“老师，你怎么想到测量AP1、BP1、AP2、BP2、AP3、BP3的长度？”“通过测量后，有些数据不相等，你为什么要说精确到0.1它们就相等了？”在片断2中，学生的疑问是“图形作好之后，我能看懂，也会证明，但我想不到这样的作法，老师你是怎么想到的呢？”细细分析，我们发现，在这两个教学片断中，学生只是“测量”、“作图”的机械执行者，其间并没有深刻而主动的思维活动.学生的困惑来自于所学的知识和他现有的认知之间的冲突，在学生现有认知和要学的知识之间缺少缓冲地带，教材给学生的只是陈述性的知识，是能让学生看懂的知识，但无法解决学生思维的困惑，“我怎么能自然想到？”这需要教师的主动引领.一方面教师要通过创设合适的情境，从学生实际出发，迅速进入学生的最近发展区，在学生已有认知基础上，构建新的认知结构；另一方面教师要通过适当调整教材，以符合学生思维规律，让学生在合适的情境下“自然想到”，让学生既知其然，更知其所以然，让“用教材教”恰到好处.

三、从教材安排和学生认知基础分析教学设计

从教材的安排顺序看.本节课是“第13章轴对称”的第二课时，第一课时安排的是轴对称和轴对称图形的概念，上一章是“全等三角形”和“角平分线的性质与判定”.从这一教材顺序中可以看出，线段和角都是轴对称图形，但分布在两个章节中，显然，本节课可以类比“角平分线的性质”来进行研究“线段的垂直平分线”，从“角平分线的性质”生长出“线段垂直平分线的性质”.片断1的教学可以先复习“角平分线的性质”，然后引入线段也是轴对称图形，它的对称轴有什么特征呢？这时我们类比“角平分线上的点”来探索“线段垂直平分线上的点”，再类比“角有两条边”，“线段有两个端点”，角平分线是“点到线的距离”，则线段垂直平分线是“点到点的距离”，从而猜想“线段垂直平分线的性质”.在片断2的教学中，要求尺规作图经过直线外一点作这条直线的垂线，我们思考能否把要作的垂线转化为作某条线段的垂直平分线（本节课的内容提示），关键就是寻找到一条线段，且这条线段的垂直平分线经过点C，于是自然想到在直线AB上寻找这样一条线段，使得该线段的垂直平分线经过点C.

从学生的认知基础看.学生的学习过程就是在原有的认知基础上，接受新的知识，使原有的认知结构得到丰富和改组，形成新的数学认知结构的过程.在这一过程中，原有的认知结构越清晰，越容易提取，也就容易找到新知的固着点，新知识若能从原结构中自然生长，则学习越轻松、自然，新的认知结构越牢固.学生在学习了全等三角形和角平分线性质的基础上，在学生已有的认知图式中，教师引导学生从角平分线的角度去构建线段垂直平分线，就显得自然了.另外，由于本节课是研究线段的垂直平分线，而片断2是要作直线的垂线，学生自然要想到如何把求作直线的垂线转化为求作某线段的垂直平分线？这时就转化为在直线AB上求一条线段，使这条线段的垂直平分线经过点C，学生自然想到以点C为圆心画弧交直线AB于点D、E，线段DE就是所求的线段.

四、对两个教学片断的改进

1.对片断1的改进

教师：在上一章，我们学习了角平分线的性质，请大家回忆一下.角是轴对称图形，它的对称轴是什么，角平分线上的点有什么特点？（角平分线上的点到角两边的距离相等）如何证明这一结论？（利用三角形全等证明）

在学生对角、角平分线的知识进行认真复习、梳理后.教师板书研究角平分线性质的思路.

教师：线段是轴对称图形吗？怎么证明线段是轴对称图形？如果是，有几条对称轴？其中线段的垂直平分线上的点有什么特点？你能类比角平分线的性质进行猜想吗？运用测量的方法验证你的猜想（这时可以运用教材中的探究方法）.把你的猜想用数学语言表达出来，证明你的猜想（是否也可以利用三角形全等证明）.

2.对片断2的改进

教师：如图3，已知：直线AB和AB外一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.方法不限，请大家自由思考.

图3

图4

学生1：把直线AB对折，使折痕经过点C，折痕所在直线就是AB的垂线.

学生2：用量角器直接量出∠CDB=90°即可，如图4.

学生3：使直角三角尺的一条直角边与AB重合，另一条直角边经过点C，过点C的直线即为AB的垂线.

教师：如果用尺规作图，该如何思考呢？从上面的三种方法中能否找到可以借鉴的作法？

显然，从上面三种作法中找不到可以借鉴的经验，这时老师的引导显得非常重要.

教师：过点C作直线AB的垂线难以下手，结合我们今天所讲的内容（线段垂直平分线），我们是否可以做这样的转化？能否在直线AB上找到一条线段DE，使得线段DE的垂直平分线经过点C？如果找到这样的线段DE，则必有CD=CE，那么如何作出CD=CE呢？（这一步可以留出时间让学生思考、讨论，为什么会想到这样的转化？把未知转化为已知的化归思想是数学的重要思想）

学生4：以点C为圆心，以足够长为半径作弧交直线AB于点D、E.如图2

教师：半径有要求吗？

学生5：必须保证所画的弧和直线AB有交点，所以学生4说“以足够长为半径”.

教师：接下来怎么办？

学生6：既然已经找到线段DE，下面就是求作DE的垂直平分线了，作法是：分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F，作直线CF，直线CF就是所求作的垂线.

教师：可以把上述思考过程用框图（图5）表示出来.

大家思考这一作图过程，你认为哪一步最重要？

图5

学生7：我认为把“过直线外一点C作已知直线AB的垂线”转化为“过直线外一点C作线段DE的垂直平分线”这一步最重要.一方面，它关联起了新情境和已学知识间的联系，面对新情境，可以转化为已学知识来解决，另一方面，我们学会了面对新问题如何进行思考的方法.

五、教学反思

1.教学设计的追求：设计无痕，思维自然

教学设计的最终目的是为了提高教学效率和教学质量，使学生在单位时间内能够学到更多的知识，更大幅度地提高学生各方面的能力，从而使学生获得良好的发展.在教学过程中，学生已有的认知基础、新知识的难易程度、教材的呈现方式等大都是矛盾的两面，如何协调其间的矛盾，使教育的成效最大化？只有依靠教师的巧妙设计，基于学生认知现状，适当改造教材，使知识的呈现方式符合学生的认知水平，有利于学生自然思维.又因为学生是一个个鲜活的个体，有着个性鲜明的思维方式，任何过于雕饰的设计都会对学生产生负面的影响，唯有把教育隐藏在每个细节中，教育才能润物无声，正如苏霍姆林斯基说的那样：“把教育意图隐蔽起来，是教育艺术十分重要的因素之一.”所以，我们追求“设计无痕，思维自然”的设计最高境界.对片断1的改进从复习角平分线的性质入手，通过类比其研究方法来探究垂直平分线的性质，思维自然，设计不露痕迹；对片断2的改进从先复习过直线外一点作已知直线的垂线入手，顺势提出能否借鉴上面方法用尺规作出垂线？在无法借鉴后，再次提出能否转化为作线段的垂直平分线？也就是把未知转化为已知（刚刚才学的新知识），这时转化为在已知直线上求作一条线段，使该线段的垂直平分线经过已知点.这样的思维自然、流畅，对教材的改造不露痕迹.

2.教学设计的起点：基于学生现状

教学设计要基于学生的认知水平.美国教育心理学家奥苏伯尔说过：“影响学生学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况进行教学.”《数学课程标准（2011年版）》也强调：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.因此在课堂教学设计中，教师应该准确把握教学的起点，从学生的已有知识出发，在学生的最近发展区，让知识自然生成，让思维自由飞翔.对片断1的改进就是基于学生已经掌握了角平分线性质的探究方法和角与线段都是轴对称图形这一认知现状，才为类比角平分线学习线段垂直平分线打好基础.对片断2的改进是基于刚刚学习了线段垂直平分线的性质这一认知现状，把作已知直线的垂线转化为作线段的垂直平分线就水到渠成，且思路自然.

3.教学设计的抓手：理解教材、优化教材

虽然教材是学生学习的载体，但其受到知识体系和教材编写的限制，教学中不能完全按照教材内容进行教学，需在理解教材的基础上，适当调整和优化教材.如果教学中严格按照教材的内容引入，学生会产生一些困惑，比如片断1中，学生提出“你怎么想到测量AP1、BP1、AP2、BP2、AP3、BP3的长度？”片断2中学生提出“图形作好之后，我能看懂，也会证明，但我想不到这样的作法，老师你是怎么想到的呢？”在教学过程中，学生根本不知道下一步做什么，始终“被动地跟着老师走”.表面上看，学生是在回答一个又一个问题，积极参与了知识形成的思维活动，但是学生并不知道整个活动的目的，尤其在片断2中，等到学生画出图形后，才恍然大悟，这一过程中，学生只是教师各项指令的机械执行者，并不能形成深刻而主动的思维活动.教师只有深刻理解教材，顺应学生思维，立足学生认知基础，从学生的角度出发，优化教材设计，才能形成自然、生动的课堂.

参考文献：

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.郭玉峰，刘春艳，程国红.数学学习论［M］.北京：北京师范大学出版社，2015.

3.G.波利亚，著.怎样解题——数学思维的新方法［M］.上海：涂泓，冯承天，译.上海科技教育出版社，2007（5）.

4.詹高晟.拉长思维过程内化概念理解［J］.中学数学（下），2016（3）.H