☉浙江省嵊州市剡城中学教育集团　施　炯



学为中心分层设计提升能力
——一节“四边形折叠”的教学设计

☉浙江省嵊州市剡城中学教育集团施炯

在义务教育阶段取消了“实验班”“创新班”的大背景下，人的差异性又客观存在，近期我市教体局对市区初中学校优等生的培养十分重视，加强了管理和考核措施.随着初中数学思维风暴活动的深入进行，高中提前招生的方案实施，有效地促进了初中学校对优等生的管理和培养.在遵循《数学课程标准》的基础上，如何对数学知识进行变式训练和拓展提升值得我们去研究和实践，我们的平时数学教学一定要精心设计，分层落实，给优等生提供发挥才智的平台，努力克服过去优等生在课堂教学中“吃不饱”现象的存在，让他们在45分钟内发挥最大的潜能.只有在平时的教学中不断地为优等生渗透、提升相关教学内容的能力题和创新题，这样通过三年的初中教学，他们的能力水平才会有一个质的变化和提高.下面以一节“四边形折叠”的教学设计为例加以论述.

一、“四边形折叠”教学设计

1.学情分析

学生已学习浙教版八年级上册勾股定理和下册四边形的相关知识，并从七年级开始已接触到折叠问题，也初步地了解了用方程思想、数形结合思想来解决折叠问题，学生具备自主探索、合作交流、归纳总结等学习能力，但他们缺乏对折叠问题的数学本质的认识和数学思想方法的研究.

2.内容分析

“四边形折叠”问题是近年来中考的热点问题，它主要考查：一是考查动手操作和空间想象能力，二是利用轴对称考查角度和线段长度，思想方法主要是方程思想，借助勾股定理、面积和相似建立方程.在八年级开设这节课，在能力要求上比初三专题复习要低一些，重点突出折叠问题的本质，利用折叠的本质“轴对称”开启解题的思路和策略.

3.教学目标

［知识与技能目标］

理解折叠问题的本质；了解折叠问题解题策略；学会用策略解折叠问题.

［过程与方法目标］

“折”——找重叠图形、找对称轴，“叠”——还原重叠图形，关注重合线段和角，熟悉重合图形对应角、对应边相等，对称轴（折痕所在直线）是对应点连线段的垂直平分线，能通过勾股定理来构建方程解折叠问题.

［情感态度与价值观目标］

学生积极主动地参与数学活动，主动发现数学问题，主动研究和探索，主动与同学合作交流，激发学生学习数学的热情.

4.重、难点分析

重点：折叠问题的本质，重合图形、重合图形的对应边和角、对称轴的定位.

难点：应用图形的全等、重合图形的对应边和角相等、点的对称构建方程求折痕长度.

5.教学方式

教学方式：在折一折、叠一叠、剪一剪等活动中，关注数学问题的本质.数学活动之后，引导学生自主反思、归纳活动中隐含的或发现的数学规律，让学生体验和经历数学化的过程.以启发式教学为指导，启迪学生主动获取知识.

学习方式：学生自主探索、小组合作、交流、分享，充分表达自己的想法，展示解决问题的思维过程，实现“做数学—悟数学—再创造数学”的学习模式.

图1

6.教学过程

（a）问题情境.

活动1（2014年绍兴市）将一张正方形纸片，按图1所示步骤①和②，沿虚线对折两次，然后在③中沿虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）.

图2

教学预设：部分同学通过动手折叠得到结果；部分同学不折纸，通过还原图形得到答案；部分同学通过对选择支的排除来处理.学生进行的操作属于层次一和层次二，教师在学生操作的过程中通过设问来引导、归纳、总结上升到层次三.

层次一：动手折一折.

学生通过折一折，剪一剪，直观、形象地得到答案B.

层次二：不折纸，还原图形.

学生按照折叠的顺序，由两条折痕（对称轴）与原正方形的边垂直还原折叠的图形，得到答案B.

层次三：探索折叠的本质.

折叠的本质是：图形的轴对称变换.根据轴对称的性质可以得到以下结论.

（1）轴对称是全等变换：折叠前后重合部分图形全等，重叠图形的对应边相等，对应角相等；（2）点的轴对称性：互相重合的两点（对称点）之间的连线段必被折痕（对称轴）垂直平分（有直角三角形，可应用勾股定理得方程）.

设计意图：本节课的主旨是通过对折叠问题的操作，理解折叠的本质，并应用折叠的本质属性探究解折叠问题的策略.层次一目的是通过动手操作形象、直观地解决折叠问题；层次二目的是揭示“数学更注重抽象思维”，解决折叠问题的重点是找到重合的图形及对应边、角和对称轴，并还原重合图形；层次三上升到对折叠问题本质属性的归纳总结，折叠问题的解题策略是从折叠开始，在找重合图形，确定重合的边、角和对称轴中突破.

（b）在应用中培养能力，掌握方法.

活动2如图3，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm.

（1）说出图中哪些线段相等；

（2）写出全等三角形；

（3）求出EC的长.

图3

教学预设：学生独立完成，并请一位同学上讲台讲题.在学生讲题的过程中归纳出解题的本质：（1）折叠前后重合的线段长度相等；（2）折叠前后重合的两个三角形全等；（3）在直角三角形中，利用勾股定理，列出方程求解问题.如图3，重合的图形有：△ADE≌△AFE，重合的线段有：AF=AD=10，EF=ED，若设EC=x，则由Rt△EFC得到方程42+x2=（8-x）2.

设计意图：本活动主要考查轴对称是全等变换：折叠前后重合部分图形全等，重叠图形的对应边相等；并把条件集中到一直角三角形中根据勾股定理得到方程，求出未知数，让学生从中感悟折叠问题中的数学思想和解题方法.

变式1：如图4，折叠长方形的一边AD，使D点与B点重合.

（1）求证：BE=BF；

（2）若AB=8cm，AD=10cm，求折痕EF的长.

图4

教学预设：学生在解本题时会有困难，因为他们对“折痕”所蕴含的数学本质没有理解，“折痕EF”：（1）是对称线段所夹角（∠BED）的平分线；（2）是对称点连线段BD的垂直平分线.所以教师要求学生从折纸的过程中，画出折痕EF和线段BE，再还原后，连接BD，让学生自己来感悟“折痕”所蕴含的数学知识，以此来突破本题.

希望学生通过合作、小组交流呈现另外的解法：（1）由折痕知∠BEF=∠DEF，再由平行线得∠DEF= ∠BFE；（2）一是先证四边形EBFD为菱形，利用面积求折痕EF的长度，二是作EG⊥BC于G，通过Rt△EGF求折痕EF的长度.

设计意图：本活动的目的是通过（1）的证明，让学生感悟在同一题目中如果有平行线和角平分的条件，那么就能推得等腰三角形，这一特征在解题中非常重要.通过（2）的解答，利用点的对称性解折叠问题.通过现场折纸、画图揭示折痕EF是线段BD的垂直平分线，自然过渡辅助线BD；同时很好地应用了折叠问题的解题策略：（1）折纸；（2）还原重叠图形.

变式2：（2013年嵊州市八年级数学竞赛题）如图5，点M是正方形ABCD的边AB的中点，连接DM，将△ADM沿DM翻折得到△FDM，延长MF交DC的延长线于点E，求CE∶DE的值.

图5

教学预设：学生在解本题时会有困难，因为他们对“折痕”所蕴含的数学本质没有理解，“折痕DM”：（1）是对称线段所夹角（∠AMF）的平分线；（2）在已有角平分线和平行线的条件下不能找出等腰三角形.所以教师启发学生在变式1的基础上，找出等腰三角形，得出相等线段.折痕DM是∠AMF的平分线，再通过AB∥CD，得出∠AMD=∠FMD=∠MDE，得到DE=ME.让学生自己来感悟“折痕”所蕴含的数学知识，以此来突破本题的难点.

设计意图：本变式的目的是在变式1的基础上，进一步提升解题能力，加强几何直观，掌握基本图形的性质，感悟数学思想方法.（1）基本图形：在平行线、角平分、等腰三角形三个条件中，只要有两个成立，就能推得第三个成立.（2）感悟方法：在折叠问题中，通常通过等量线段的转换，使已知条件集中到同一个直角三角形中，再利用勾股定理，列出方程求解问题.

（c）在挑战中提升能力，感悟思想.

活动3如图6，将正方形ABCD 沿AD、BC的中点M、N对折，得到折痕MN.再将点C折至点P的位置，折痕为BQ，连接PQ、BP.

图6

回答下列问题，并说明理由.

问题1：找出图中相等的线段.

问题2：找出成两倍数量关系的线段.

问题3：探求∠PBC的度数.

迎接挑战，你对本题还能提出什么问题？看哪个小组提出的问题多.

教学预设：活动目的是通过找问题的隐含条件“BP=BC=2BN”来“探求∠PBC的度数”.然后通过学生小组合作自己提出问题并解决问题把课堂推向高潮.

教师为防学生提不出问题，可以引导学生从图形的形状、角度、线段长度关系上提出问题.

最后教师留给学生一道课后探索题：“如何用一张正方形的纸片折出与正方形边长相等的正三角形.”

设计意图：正方形的特殊性，尽管题中没有出现线段长度，但是在折叠过程中隐含着线段间的数量关系，通过揭示隐含的数量关系解折叠问题来提升学生的能力；并利用课后探索题来提高学生对学习数学的兴趣、热情、能力.

（d）知识梳理和作业布置.

一个问题：四边形折叠问题.

两种策略：动手“折”——定重叠图形、对称轴；还原“叠”——定重合的线段和角.

三个关注：图形的全等，点的对称，方程思想.

作业：学案上的必做题和选做题（略）.

二、教学反思

本节课是围绕“四边形折叠”设计的系列活动，有利于学生针对问题情境，借助所学知识，或独立思考，或与他人合作，经历提出问题、分析问题和解决问题的全过程.

本节课着力体现了学为中心，分层教学的主题，教学过程分为三个层次.

第一层次是“做数学”的过程，使学生初步体会折叠问题所蕴含的数学知识和数学原理.

活动1，学生在折叠纸片、还原图形中“做数学”.

第二层次是“悟数学”的过程，从做数学中悟出折叠的本质和解折叠问题的策略.

活动2，学生在折叠图形中，利用对称性，获得相关图形的性质，感悟数学思想方法.

在本堂课教学中，通过变式训练和能力提升，使学生对数学知识、数学问题、数学思想有了更深入的理解和感悟.让学生自己经历数学学习的过程，真切地体会、充分地品尝了探究、解决问题过程的乐趣，更深地领略了数学过程的内在美、简洁美和统一美，既培养了多种能力又陶冶了情操，效果完美、有意义.

第三层次是“再创造数学”的过程.

在活动3中，学生提出问题并自己解决问题；问题“如何用一张正方形的纸片折出与正方形边长相等的正三角形”实现了数学的再创造.

本课的设计既考虑到学生已有的知识经验，也考虑到问题的数学实质；整节课的活动给学生提供了展示、讲解、质疑的平台，教师只起点拨、引导的作用；在学生解决问题的过程中，教师既提出了启发学生思维的问题，也注意到在教学过程中帮助学生总结、归纳、升化知识和培养学习能力.Z