☉江苏省淮安工业园区实验学校　李　宾



数形结合思想在“点”上的体现
——“平面直角坐标系（1）”的教学设计与反思

☉江苏省淮安工业园区实验学校李宾

一、背景介绍

众所周知，图的由来是函数图像教学的基础，而平面直角坐标系的引入又成为基础的基础.新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程.从这个意义上来说，学生应当成为学习活动的主体，教师应成为学习活动的组织者、引导者与合作者.作为教师，首先应考虑如何调动学生学习的主动性和积极性，引导学生学会自主探究、创新，教师在发挥组织、引导作用的同时，又是学生的合作者和好朋友，而非居高临下的“统治者”“管理者”.基于以上认识，笔者于本周进行了一次对市公开课的教学尝试，从了解平面直角坐标系、坐标轴、点的坐标等概念开始，到会正确地画出直角坐标系，并会在给定的平面直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标，根据坐标描出点的位置，以“点”为中心顺次展开，在数形结合中体现“点”的强大作用.下面就将本课的教学设计进行分享和展示.

二、教学设计

（一）课前准备

复习数轴相关概念.

①什么是数轴？__________________________.

②图1中A、B、C三个点分别表示什么数：

图1

A点表示___，B点表示___，C点表示___.

③在②的数轴上标出表示-1.5、0、3的对应点D、E、F.

④数轴上的点与实数之间是一种什么关系？__________________________.

（二）课中探究

1.引入概念：平面直角坐标系

平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系.（也称为笛卡儿坐标系.）

问题：①要实现平面上点的定位，在平面上必须画几条数轴？

②从方便、直观等方面考虑，两条数轴要满足哪些条件？

图2

（两条、互相垂直、原点重合且具有相同单位长度）

2.象限

坐标轴将平面分成的四个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.图2中，点A、B、O、C、D、E、F不属于任何象限，这些点是坐标轴上的点，因此可以说坐标轴上的点不属于任何一个象限.

3.点的坐标

（1）已知点的位置确定坐标.

问题：①结合生活中的实例，谈谈你准备怎么描述音乐喷泉的位置；②在图3中你能用不同的表示方法来表示点G吗？如何描述？

图3

辨析：能指出（150，-100）所表示的点的位置吗？是点G吗？（利用图3研究）

尝试：请在图4所示的平面直角坐标系中，分别表示出A、B、C、D、E、F的坐标.

（2）已知点的坐标确定位置.

图4

尝试：在图4所示的平面直角坐标系中，描出坐标（-3，6）、（0，6）、（3，6）、（3，3）、（3，-3）、（-3，-3）、（-1，0）、（-3，3）所对应的点G、H、I、J、K、L、M、N.

（三）探究规律

探究1：平面直角坐标系中点的坐标的特征：①各个象限内点的符号特征；②各个象限内点的绝对值特征；③坐标轴上点的坐标的特征.

探究2：①一般情况下，表示点的坐标的两个数值不能互换，有没有一个点的坐标，它的两个数值可以互换？若有，它在哪里？

②第二、四象限角平分线上的点的坐标有什么特征？

③对于点P（a，b），a的数值变化、b的数值不变，那么点P的位置会如何呢？

④对于点P（a，b），a的数值不变、b的数值变化，那么点P的位置会发生怎样的变化？

（四）归纳小结

归纳：本节课你学到了哪些知识？学会了哪些本领？掌握了哪些数学思想方法？还有哪些困惑？

小结：四个“一”.

一种工具——平面直角坐标系；

一种方法——确定点及图形的位置；

一种思想——数形结合思想（数缺形时少直观，形缺数时难入微），

一次经历——建立平面直角坐标系及其运用过程，

一份收获——多了解决问题的工具、解决问题的思想方法.

三、教学反思与感悟

1.以实际问题为背景，将数形结合落实到“点”上

本节课让学生经历在同一直线上的点可以画一条数轴来表示，联想不在同一直线上的点需要画两条数轴才能表示，通过一组生活中的实际问题的解决与感悟，构建平面直角坐标系，感受数形结合、类比转化的数学思想，揭示人类认识世界是由特殊到一般、具体到抽象、一维到多维等认识规律.另外，通过点和数之间建立的一一对应的关系，使学生更直观地得到坐标平面内的点与有序实数对的关系，从而更加贴近学生的实际生活，让数学生活化.通过游戏过程中的感受和体会，进一步提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生积极参与、勤于思考、勇于创新的意识.这样的教学设计从学生的已有经验出发，抓住“点”这个基本元素，将学生已有的知识和经验进行联系，帮助学生分析和理解平面直角坐标系，从而能够更好地把数形结合思想渗透到实处，落实到点上.

2.以“点”为桥梁，渗透数学思想

本课是函数部分内容的起始课，需要将数与形之间建立一一对应的联系，需要不断让学生感受组成图像的核心元素——点与各个知识点之间的联系，理清知识之间的关联，形成知识结构图，在每一个环节都能有效渗透数学思想方法.

（1）渗透特殊与一般的思想.

从实际问题开始，学生就逐渐理解平面直角坐标系对于解决问题的价值和作用，即研究普通的图形需要从具体的点入手，渗透了由一般到特殊的数学思想.在平面直角坐标系的建立过程中，数学思想的渗透是不间断的.

（2）体现学生的主体性.

本课从数轴上的数表示开始，引导学生思考后排学生的位置如何表示，于是类比数轴的建立提出再引入一条数轴，建立了平面直角坐标系.接着通过规律探究，认识平面内的点与其坐标的对应关系.在这个过程中，首先，教师是以一个参与者的角色出现，和学生一起发现问题、解决问题，分享学生每一次成功的喜悦；其次，才以引导者出现，善于捕捉学生每一次思维的闪光点，及时给予鼓励，在学生陷入困境的时候再及时给予点拨，使学生自始至终在愉悦的氛围中学习.为了真正做到把学习的权利交还给学生，体验做数学的乐趣，在平面直角坐标系发现及点的坐标归纳的学习过程中，笔者把观察时间交给学生、想象的空间交给学生、发现的过程交给学生、抽象概括的机会交给学生，让学生自己说思维，讲过程，探方法，找规律，请学生到前台展示成果，讲解思路、方法，充分体现了“学生是主体、是学习的主人”的思想理念.

（3）依据课本设计教案体现课改精神.

平面直角坐标系是发展学生空间观念的重要载体，是沟通代数与几何的桥梁，是非常重要的数学工具.在教学中，笔者运用不同的教学方式，不断深化学生的思维.其中，既有老师的组织与引导，又有学生的思考与合作；既有老师的点拨，又有学生的讲解；既有操作体验，又有语言表述；既有基础训练，又有拓展延伸；课堂上生生互动、师生互动，让学生体验成功的乐趣，不同层次的学生都得到发展.在此基础上，类比数轴，探讨了在平面内确定点的位置的方法，引出平面直角坐标系，实现由一维到二维的过渡.另外，教学时使学生经历知识的生成和发展过程，体会学习数学的必要性，真正把学习的主动权交给学生，引导学生自主去探索和发现，留给学生充足的空间和机会，在丰富、有趣的数学活动中，积极思考、充分探究、获取知识、发展能力，培养学生良好的思维品质和学习素养.

参考文献：

1.郑毓信.教师专业成长的主要目标与重要内容（下）［J］.小学教学（数学版），2013（12）.

2.刘东升.关联性：一个值得重视的研究领域［J］.中学数学（下），2013（12）.

3.季卫东.变式取向：从“标准模式”到“非标准模式”——以“轴对称最值问题”解题教学为例［J］.中学数学（下），2014（3）.Z